Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30156 / 20996
↖ ↑ ↗
← N 54.149567°
W 14.348144°		 ← 357.72 m → N 54.149567°
W 14.342651°		 →
↑
357.80 m
↓
↑
357.80 m
↓
N 54.146350°
W 14.348144°		 ← 357.75 m →
127 996 m²		 N 54.146350°
W 14.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460151672363281 y=0.320381164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460151672363281 × 216)
    floor (0.460151672363281 × 65536)
    floor (30156.5)     		tx = 30156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320381164550781 × 216)
    floor (0.320381164550781 × 65536)
    floor (20996.5)     		ty = 20996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30156 / 20996 ti = "16/30156/20996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30156/20996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30156 ÷ 216
    30156 ÷ 65536     		x = 0.46014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20996 ÷ 216
    20996 ÷ 65536     		y = 0.32037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.0797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25042236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32037353515625 × 2 - 1) × π
    0.3592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1286263646546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25042236} λ = -0.25042236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1286263646546))-π/2
    2×atan(3.09140711615911)-π/2
    2×1.2579422815824-π/2
    2.5158845631648-1.57079632675     		φ = 0.94508824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25042236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94508824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.149567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30156 KachelY 20996 -0.25042236 0.94508824 -14.348144 54.149567
    Oben rechts KachelX + 1 30157 KachelY 20996 -0.25032649 0.94508824 -14.342651 54.149567
    Unten links KachelX 30156 KachelY + 1 20997 -0.25042236 0.94503208 -14.348144 54.146350
    Unten rechts KachelX + 1 30157 KachelY + 1 20997 -0.25032649 0.94503208 -14.342651 54.146350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94508824-0.94503208) × R
    5.61599999999718e-05 × 6371000     		dl = 357.79535999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94508824-0.94503208) × R
    5.61599999999718e-05 × 6371000     		dr = 357.79535999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25042236--0.25032649) × cos(0.94508824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585671358488496 × 6371000     		do = 357.720903004051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25042236--0.25032649) × cos(0.94503208) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585716877975192 × 6371000     		du = 357.748705749822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94508824)-sin(0.94503208))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585671358488496-0.585716877975192)×R²
    abs(-0.25032649--0.25042236)×4.55194866956221e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55194866956221e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55194866956221e-05×40589641000000     		ar = 127995.853149969m²