Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30156 / 15052
↖ ↑ ↗
← N 69.263930°
W 14.348144°		 ← 216.26 m → N 69.263930°
W 14.342651°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 69.261985°
W 14.348144°		 ← 216.28 m →
46 778 m²		 N 69.261985°
W 14.342651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460151672363281 y=0.229682922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460151672363281 × 216)
    floor (0.460151672363281 × 65536)
    floor (30156.5)     		tx = 30156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229682922363281 × 216)
    floor (0.229682922363281 × 65536)
    floor (15052.5)     		ty = 15052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30156 / 15052 ti = "16/30156/15052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30156/15052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30156 ÷ 216
    30156 ÷ 65536     		x = 0.46014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15052 ÷ 216
    15052 ÷ 65536     		y = 0.22967529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46014404296875 × 2 - 1) × π
    -0.0797119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25042236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22967529296875 × 2 - 1) × π
    0.5406494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69850022733783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25042236} λ = -0.25042236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69850022733783))-π/2
    2×atan(5.46574386832269)-π/2
    2×1.3898399820939-π/2
    2.77967996418779-1.57079632675     		φ = 1.20888364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25042236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20888364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.263930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30156 KachelY 15052 -0.25042236 1.20888364 -14.348144 69.263930
    Oben rechts KachelX + 1 30157 KachelY 15052 -0.25032649 1.20888364 -14.342651 69.263930
    Unten links KachelX 30156 KachelY + 1 15053 -0.25042236 1.20884969 -14.348144 69.261985
    Unten rechts KachelX + 1 30157 KachelY + 1 15053 -0.25032649 1.20884969 -14.342651 69.261985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20888364-1.20884969) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20888364-1.20884969) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25042236--0.25032649) × cos(1.20888364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.35406366530498 × 6371000     		do = 216.25775656965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25042236--0.25032649) × cos(1.20884969) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354095415864804 × 6371000     		du = 216.277149423282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20888364)-sin(1.20884969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35406366530498-0.354095415864804)×R²
    abs(-0.25032649--0.25042236)×3.17505598245726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17505598245726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17505598245726e-05×40589641000000     		ar = 46777.6660710392m²