Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 30154 / 21594
↖ ↑ ↗
← N 76.125845°
W 97.179565°		 ← 73.22 m → N 76.125845°
W 97.176819°		 →
↑
73.20 m
↓
↑
73.20 m
↓
N 76.125187°
W 97.179565°		 ← 73.23 m →
5 360 m²		 N 76.125187°
W 97.176819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230060577392578 y=0.164752960205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230060577392578 × 217)
    floor (0.230060577392578 × 131072)
    floor (30154.5)     		tx = 30154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164752960205078 × 217)
    floor (0.164752960205078 × 131072)
    floor (21594.5)     		ty = 21594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30154 / 21594 ti = "17/30154/21594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30154/21594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30154 ÷ 217
    30154 ÷ 131072     		x = 0.230056762695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21594 ÷ 217
    21594 ÷ 131072     		y = 0.164749145507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230056762695312 × 2 - 1) × π
    -0.539886474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.69610338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164749145507812 × 2 - 1) × π
    0.670501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10644324310451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69610338} λ = -1.69610338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10644324310451))-π/2
    2×atan(8.21895640603123)-π/2
    2×1.4497214851231-π/2
    2.8994429702462-1.57079632675     		φ = 1.32864664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69610338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.179565°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32864664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.125845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30154 KachelY 21594 -1.69610338 1.32864664 -97.179565 76.125845
    Oben rechts KachelX + 1 30155 KachelY 21594 -1.69605545 1.32864664 -97.176819 76.125845
    Unten links KachelX 30154 KachelY + 1 21595 -1.69610338 1.32863515 -97.179565 76.125187
    Unten rechts KachelX + 1 30155 KachelY + 1 21595 -1.69605545 1.32863515 -97.176819 76.125187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32864664-1.32863515) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dl = 73.2027900007257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32864664-1.32863515) × R
    1.14900000001139e-05 × 6371000     		dr = 73.2027900007257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69610338--1.69605545) × cos(1.32864664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23979014800691 × 6371000     		do = 73.2228063694353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69610338--1.69605545) × cos(1.32863515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.239801302767398 × 6371000     		du = 73.2262126097421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32864664)-sin(1.32863515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23979014800691-0.239801302767398)×R²
    abs(-1.69605545--1.69610338)×1.11547604878803e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11547604878803e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11547604878803e-05×40589641000000     		ar = 5360.23839108883m²