Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30153 / 7353
↖ ↑ ↗
← N 69.926530°
E151.270752°		 ← 419.30 m → N 69.926530°
E151.281738°		 →
↑
419.34 m
↓
↑
419.34 m
↓
N 69.922759°
E151.270752°		 ← 419.37 m →
175 843 m²		 N 69.922759°
E151.281738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.920211791992188 y=0.224411010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.920211791992188 × 215)
    floor (0.920211791992188 × 32768)
    floor (30153.5)     		tx = 30153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224411010742188 × 215)
    floor (0.224411010742188 × 32768)
    floor (7353.5)     		ty = 7353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30153 / 7353 ti = "15/30153/7353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30153/7353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30153 ÷ 215
    30153 ÷ 32768     		x = 0.920196533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7353 ÷ 215
    7353 ÷ 32768     		y = 0.224395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.920196533203125 × 2 - 1) × π
    0.84039306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.64017268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224395751953125 × 2 - 1) × π
    0.55120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73167256187491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.64017268} λ = 2.64017268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73167256187491))-π/2
    2×atan(5.65009614526659)-π/2
    2×1.39562225257488-π/2
    2.79124450514976-1.57079632675     		φ = 1.22044818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.64017268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.270752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22044818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.926530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30153 KachelY 7353 2.64017268 1.22044818 151.270752 69.926530
    Oben rechts KachelX + 1 30154 KachelY 7353 2.64036443 1.22044818 151.281738 69.926530
    Unten links KachelX 30153 KachelY + 1 7354 2.64017268 1.22038236 151.270752 69.922759
    Unten rechts KachelX + 1 30154 KachelY + 1 7354 2.64036443 1.22038236 151.281738 69.922759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22044818-1.22038236) × R
    6.58199999998832e-05 × 6371000     		dl = 419.339219999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22044818-1.22038236) × R
    6.58199999998832e-05 × 6371000     		dr = 419.339219999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.64017268-2.64036443) × cos(1.22044818) × R
    0.000191749999999935 × 0.343224826267368 × 6371000     		do = 419.296919342505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.64017268-2.64036443) × cos(1.22038236) × R
    0.000191749999999935 × 0.343286647174553 × 6371000     		du = 419.372442189194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22044818)-sin(1.22038236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343224826267368-0.343286647174553)×R²
    abs(2.64036443-2.64017268)×6.18209071854281e-05×R²
    0.000191749999999935×6.18209071854281e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.18209071854281e-05×40589641000000     		ar = 175843.478014628m²