Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30153 / 40999
↖ ↑ ↗
← S 41.141433°
W 14.364624°		 ← 460.02 m → S 41.141433°
W 14.359131°		 →
↑
459.92 m
↓
↑
459.92 m
↓
S 41.145569°
W 14.364624°		 ← 460 m →
211 569 m²		 S 41.145569°
W 14.359131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460105895996094 y=0.625602722167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460105895996094 × 216)
    floor (0.460105895996094 × 65536)
    floor (30153.5)     		tx = 30153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625602722167969 × 216)
    floor (0.625602722167969 × 65536)
    floor (40999.5)     		ty = 40999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30153 / 40999 ti = "16/30153/40999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30153/40999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30153 ÷ 216
    30153 ÷ 65536     		x = 0.460098266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40999 ÷ 216
    40999 ÷ 65536     		y = 0.625595092773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460098266601562 × 2 - 1) × π
    -0.079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25070999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625595092773438 × 2 - 1) × π
    -0.251190185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.789137241545364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25070999} λ = -0.25070999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789137241545364))-π/2
    2×atan(0.45423652267534)-π/2
    2×0.426371430755044-π/2
    0.852742861510089-1.57079632675     		φ = -0.71805347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25070999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.364624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71805347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.141433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30153 KachelY 40999 -0.25070999 -0.71805347 -14.364624 -41.141433
    Oben rechts KachelX + 1 30154 KachelY 40999 -0.25061411 -0.71805347 -14.359131 -41.141433
    Unten links KachelX 30153 KachelY + 1 41000 -0.25070999 -0.71812566 -14.364624 -41.145569
    Unten rechts KachelX + 1 30154 KachelY + 1 41000 -0.25061411 -0.71812566 -14.359131 -41.145569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71805347--0.71812566) × R
    7.21900000000275e-05 × 6371000     		dl = 459.922490000175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71805347--0.71812566) × R
    7.21900000000275e-05 × 6371000     		dr = 459.922490000175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25070999--0.25061411) × cos(-0.71805347) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.753087816088269 × 6371000     		do = 460.024807027452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25070999--0.25061411) × cos(-0.71812566) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.753040318880375 × 6371000     		du = 459.995793287714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71805347)-sin(-0.71812566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753087816088269-0.753040318880375)×R²
    abs(-0.25061411--0.25070999)×4.74972078934321e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74972078934321e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74972078934321e-05×40589641000000     		ar = 211569.082765966m²