Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30153 / 21595
↖ ↑ ↗
← N 76.125187°
W 97.182312°		 ← 73.24 m → N 76.125187°
W 97.179565°		 →
↑
73.27 m
↓
↑
73.27 m
↓
N 76.124528°
W 97.182312°		 ← 73.24 m →
5 366 m²		 N 76.124528°
W 97.179565°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.230052947998047 y=0.164760589599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.230052947998047 × 217)
    floor (0.230052947998047 × 131072)
    floor (30153.5)     		tx = 30153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164760589599609 × 217)
    floor (0.164760589599609 × 131072)
    floor (21595.5)     		ty = 21595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30153 / 21595 ti = "17/30153/21595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30153/21595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30153 ÷ 217
    30153 ÷ 131072     		x = 0.230049133300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21595 ÷ 217
    21595 ÷ 131072     		y = 0.164756774902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.230049133300781 × 2 - 1) × π
    -0.539901733398438 × 3.1415926535     		Λ = -1.69615132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164756774902344 × 2 - 1) × π
    0.670486450195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.10639530620489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.69615132} λ = -1.69615132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10639530620489))-π/2
    2×atan(8.21856242418621)-π/2
    2×1.44971573759131-π/2
    2.89943147518263-1.57079632675     		φ = 1.32863515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.69615132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.182312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32863515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.125187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30153 KachelY 21595 -1.69615132 1.32863515 -97.182312 76.125187
    Oben rechts KachelX + 1 30154 KachelY 21595 -1.69610338 1.32863515 -97.179565 76.125187
    Unten links KachelX 30153 KachelY + 1 21596 -1.69615132 1.32862365 -97.182312 76.124528
    Unten rechts KachelX + 1 30154 KachelY + 1 21596 -1.69610338 1.32862365 -97.179565 76.124528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32863515-1.32862365) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dl = 73.2665000003385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32863515-1.32862365) × R
    1.15000000000531e-05 × 6371000     		dr = 73.2665000003385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.69615132--1.69610338) × cos(1.32863515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.239801302767398 × 6371000     		do = 73.2414903506485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.69615132--1.69610338) × cos(1.32862365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23981246720442 × 6371000     		du = 73.2449002570875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32863515)-sin(1.32862365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239801302767398-0.23981246720442)×R²
    abs(-1.69610338--1.69615132)×1.11644370215658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11644370215658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11644370215658e-05×40589641000000     		ar = 5366.27256876139m²