Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30153 / 20217
↖ ↑ ↗
← N 56.580666°
W 14.364624°		 ← 336.43 m → N 56.580666°
W 14.359131°		 →
↑
336.39 m
↓
↑
336.39 m
↓
N 56.577641°
W 14.364624°		 ← 336.46 m →
113 177 m²		 N 56.577641°
W 14.359131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460105895996094 y=0.308494567871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460105895996094 × 216)
    floor (0.460105895996094 × 65536)
    floor (30153.5)     		tx = 30153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308494567871094 × 216)
    floor (0.308494567871094 × 65536)
    floor (20217.5)     		ty = 20217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30153 / 20217 ti = "16/30153/20217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30153/20217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30153 ÷ 216
    30153 ÷ 65536     		x = 0.460098266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20217 ÷ 216
    20217 ÷ 65536     		y = 0.308486938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460098266601562 × 2 - 1) × π
    -0.079803466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25070999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308486938476562 × 2 - 1) × π
    0.383026123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20331205426265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25070999} λ = -0.25070999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20331205426265))-π/2
    2×atan(3.33113156061322)-π/2
    2×1.27915762433663-π/2
    2.55831524867326-1.57079632675     		φ = 0.98751892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25070999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.364624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98751892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.580666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30153 KachelY 20217 -0.25070999 0.98751892 -14.364624 56.580666
    Oben rechts KachelX + 1 30154 KachelY 20217 -0.25061411 0.98751892 -14.359131 56.580666
    Unten links KachelX 30153 KachelY + 1 20218 -0.25070999 0.98746612 -14.364624 56.577641
    Unten rechts KachelX + 1 30154 KachelY + 1 20218 -0.25061411 0.98746612 -14.359131 56.577641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98751892-0.98746612) × R
    5.2799999999964e-05 × 6371000     		dl = 336.388799999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98751892-0.98746612) × R
    5.2799999999964e-05 × 6371000     		dr = 336.388799999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25070999--0.25061411) × cos(0.98751892) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550762416988356 × 6371000     		do = 336.434037545689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25070999--0.25061411) × cos(0.98746612) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550806486377563 × 6371000     		du = 336.460957397309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98751892)-sin(0.98746612))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550762416988356-0.550806486377563)×R²
    abs(-0.25061411--0.25070999)×4.40693892067578e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40693892067578e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40693892067578e-05×40589641000000     		ar = 113177.169963492m²