Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30152 / 41049
↖ ↑ ↗
← S 41.347948°
W 14.370117°		 ← 458.53 m → S 41.347948°
W 14.364624°		 →
↑
458.52 m
↓
↑
458.52 m
↓
S 41.352072°
W 14.370117°		 ← 458.50 m →
210 237 m²		 S 41.352072°
W 14.364624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460090637207031 y=0.626365661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460090637207031 × 216)
    floor (0.460090637207031 × 65536)
    floor (30152.5)     		tx = 30152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626365661621094 × 216)
    floor (0.626365661621094 × 65536)
    floor (41049.5)     		ty = 41049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30152 / 41049 ti = "16/30152/41049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30152/41049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30152 ÷ 216
    30152 ÷ 65536     		x = 0.4600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41049 ÷ 216
    41049 ÷ 65536     		y = 0.626358032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4600830078125 × 2 - 1) × π
    -0.079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25080586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626358032226562 × 2 - 1) × π
    -0.252716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.79393093150737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25080586} λ = -0.25080586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79393093150737))-π/2
    2×atan(0.452064264342473)-π/2
    2×0.424569243328156-π/2
    0.849138486656313-1.57079632675     		φ = -0.72165784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25080586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.370117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72165784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.347948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30152 KachelY 41049 -0.25080586 -0.72165784 -14.370117 -41.347948
    Oben rechts KachelX + 1 30153 KachelY 41049 -0.25070999 -0.72165784 -14.364624 -41.347948
    Unten links KachelX 30152 KachelY + 1 41050 -0.25080586 -0.72172981 -14.370117 -41.352072
    Unten rechts KachelX + 1 30153 KachelY + 1 41050 -0.25070999 -0.72172981 -14.364624 -41.352072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72165784--0.72172981) × R
    7.19700000000323e-05 × 6371000     		dl = 458.520870000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72165784--0.72172981) × R
    7.19700000000323e-05 × 6371000     		dr = 458.520870000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25080586--0.25070999) × cos(-0.72165784) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750711542213281 × 6371000     		do = 458.525428781701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25080586--0.25070999) × cos(-0.72172981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750663994718004 × 6371000     		du = 458.496387353092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72165784)-sin(-0.72172981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750711542213281-0.750663994718004)×R²
    abs(-0.25070999--0.25080586)×4.75474952768007e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75474952768007e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75474952768007e-05×40589641000000     		ar = 210236.820562382m²