Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3015 / 3772
↖ ↑ ↗
← N 14.093957°
W 47.504883°		 ← 4 739.40 m → N 14.093957°
W 47.460938°		 →
↑
4 739.83 m
↓
↑
4 739.83 m
↓
N 14.051331°
W 47.504883°		 ← 4 740.28 m →
22 466 053 m²		 N 14.051331°
W 47.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36810302734375 y=0.46051025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36810302734375 × 213)
    floor (0.36810302734375 × 8192)
    floor (3015.5)     		tx = 3015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.46051025390625 × 213)
    floor (0.46051025390625 × 8192)
    floor (3772.5)     		ty = 3772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3015 / 3772 ti = "13/3015/3772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3015/3772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3015 ÷ 213
    3015 ÷ 8192     		x = 0.3680419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3772 ÷ 213
    3772 ÷ 8192     		y = 0.46044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3680419921875 × 2 - 1) × π
    -0.263916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82911662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46044921875 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.248504887630371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82911662} λ = -0.82911662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248504887630371))-π/2
    2×atan(1.28210708881954)-π/2
    2×0.908391142088169-π/2
    1.81678228417634-1.57079632675     		φ = 0.24598596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82911662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.504883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24598596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.093957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3015 KachelY 3772 -0.82911662 0.24598596 -47.504883 14.093957
    Oben rechts KachelX + 1 3016 KachelY 3772 -0.82834963 0.24598596 -47.460938 14.093957
    Unten links KachelX 3015 KachelY + 1 3773 -0.82911662 0.24524199 -47.504883 14.051331
    Unten rechts KachelX + 1 3016 KachelY + 1 3773 -0.82834963 0.24524199 -47.460938 14.051331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24598596-0.24524199) × R
    0.00074397000000001 × 6371000     		dl = 4739.83287000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24598596-0.24524199) × R
    0.00074397000000001 × 6371000     		dr = 4739.83287000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82911662--0.82834963) × cos(0.24598596) × R
    0.000766990000000023 × 0.96989770263388 × 6371000     		do = 4739.39861590701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82911662--0.82834963) × cos(0.24524199) × R
    0.000766990000000023 × 0.970078600362959 × 6371000     		du = 4740.28257144633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24598596)-sin(0.24524199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.96989770263388-0.970078600362959)×R²
    abs(-0.82834963--0.82911662)×0.000180897729079144×R²
    0.000766990000000023×0.000180897729079144×6371000²
    0.000766990000000023×0.000180897729079144×40589641000000     		ar = 22466053.2806999m²