Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30147 / 15044
↖ ↑ ↗
← N 69.279484°
W 14.397583°		 ← 216.13 m → N 69.279484°
W 14.392090°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
N 69.277541°
W 14.397583°		 ← 216.14 m →
46 708 m²		 N 69.277541°
W 14.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.460014343261719 y=0.229560852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.460014343261719 × 216)
    floor (0.460014343261719 × 65536)
    floor (30147.5)     		tx = 30147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229560852050781 × 216)
    floor (0.229560852050781 × 65536)
    floor (15044.5)     		ty = 15044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30147 / 15044 ti = "16/30147/15044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30147/15044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30147 ÷ 216
    30147 ÷ 65536     		x = 0.460006713867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15044 ÷ 216
    15044 ÷ 65536     		y = 0.22955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.460006713867188 × 2 - 1) × π
    -0.079986572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25128523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22955322265625 × 2 - 1) × π
    0.5408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.69926721773175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25128523} λ = -0.25128523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69926721773175))-π/2
    2×atan(5.46993764945466)-π/2
    2×1.38997571512136-π/2
    2.77995143024273-1.57079632675     		φ = 1.20915510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25128523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.397583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20915510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.279484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30147 KachelY 15044 -0.25128523 1.20915510 -14.397583 69.279484
    Oben rechts KachelX + 1 30148 KachelY 15044 -0.25118935 1.20915510 -14.392090 69.279484
    Unten links KachelX 30147 KachelY + 1 15045 -0.25128523 1.20912118 -14.397583 69.277541
    Unten rechts KachelX + 1 30148 KachelY + 1 15045 -0.25118935 1.20912118 -14.392090 69.277541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20915510-1.20912118) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dl = 216.104320000839m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20915510-1.20912118) × R
    3.39200000001316e-05 × 6371000     		dr = 216.104320000839m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25128523--0.25118935) × cos(1.20915510) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.353809777082489 × 6371000     		do = 216.125225969417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25128523--0.25118935) × cos(1.20912118) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.353841502845203 × 6371000     		du = 216.144605698525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20915510)-sin(1.20912118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353809777082489-0.353841502845203)×R²
    abs(-0.25118935--0.25128523)×3.17257627137635e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.17257627137635e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.17257627137635e-05×40589641000000     		ar = 46707.6890193823m²