Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30146 / 20042
↖ ↑ ↗
← N 57.106419°
W 14.403076°		 ← 331.71 m → N 57.106419°
W 14.397583°		 →
↑
331.74 m
↓
↑
331.74 m
↓
N 57.103436°
W 14.403076°		 ← 331.73 m →
110 044 m²		 N 57.103436°
W 14.397583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459999084472656 y=0.305824279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459999084472656 × 216)
    floor (0.459999084472656 × 65536)
    floor (30146.5)     		tx = 30146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305824279785156 × 216)
    floor (0.305824279785156 × 65536)
    floor (20042.5)     		ty = 20042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30146 / 20042 ti = "16/30146/20042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30146/20042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30146 ÷ 216
    30146 ÷ 65536     		x = 0.459991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20042 ÷ 216
    20042 ÷ 65536     		y = 0.305816650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25138110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305816650390625 × 2 - 1) × π
    0.38836669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22008996912967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25138110} λ = -0.25138110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22008996912967))-π/2
    2×atan(3.38749248966287)-π/2
    2×1.28374568142754-π/2
    2.56749136285507-1.57079632675     		φ = 0.99669504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25138110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99669504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.106419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30146 KachelY 20042 -0.25138110 0.99669504 -14.403076 57.106419
    Oben rechts KachelX + 1 30147 KachelY 20042 -0.25128523 0.99669504 -14.397583 57.106419
    Unten links KachelX 30146 KachelY + 1 20043 -0.25138110 0.99664297 -14.403076 57.103436
    Unten rechts KachelX + 1 30147 KachelY + 1 20043 -0.25128523 0.99664297 -14.397583 57.103436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99669504-0.99664297) × R
    5.20699999999596e-05 × 6371000     		dl = 331.737969999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99669504-0.99664297) × R
    5.20699999999596e-05 × 6371000     		dr = 331.737969999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25138110--0.25128523) × cos(0.99669504) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543080377957659 × 6371000     		do = 331.706852983508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25138110--0.25128523) × cos(0.99664297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543124099396244 × 6371000     		du = 331.733557503483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99669504)-sin(0.99664297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543080377957659-0.543124099396244)×R²
    abs(-0.25128523--0.25138110)×4.37214385854423e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37214385854423e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37214385854423e-05×40589641000000     		ar = 110044.187520328m²