Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30146 / 15054
↖ ↑ ↗
← N 69.260040°
W 14.403076°		 ← 216.30 m → N 69.260040°
W 14.397583°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
N 69.258095°
W 14.403076°		 ← 216.32 m →
46 786 m²		 N 69.258095°
W 14.397583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459999084472656 y=0.229713439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459999084472656 × 216)
    floor (0.459999084472656 × 65536)
    floor (30146.5)     		tx = 30146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229713439941406 × 216)
    floor (0.229713439941406 × 65536)
    floor (15054.5)     		ty = 15054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30146 / 15054 ti = "16/30146/15054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30146/15054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30146 ÷ 216
    30146 ÷ 65536     		x = 0.459991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15054 ÷ 216
    15054 ÷ 65536     		y = 0.229705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.08001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25138110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229705810546875 × 2 - 1) × π
    0.54058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69830847973935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25138110} λ = -0.25138110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69830847973935))-π/2
    2×atan(5.4646959255355)-π/2
    2×1.38980603362108-π/2
    2.77961206724217-1.57079632675     		φ = 1.20881574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25138110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20881574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.260040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30146 KachelY 15054 -0.25138110 1.20881574 -14.403076 69.260040
    Oben rechts KachelX + 1 30147 KachelY 15054 -0.25128523 1.20881574 -14.397583 69.260040
    Unten links KachelX 30146 KachelY + 1 15055 -0.25138110 1.20878179 -14.403076 69.258095
    Unten rechts KachelX + 1 30147 KachelY + 1 15055 -0.25128523 1.20878179 -14.397583 69.258095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20881574-1.20878179) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20881574-1.20878179) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25138110--0.25128523) × cos(1.20881574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354127166016498 × 6371000     		do = 216.296542027632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25138110--0.25128523) × cos(1.20878179) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.354158915760023 × 6371000     		du = 216.315934382678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20881574)-sin(1.20878179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354127166016498-0.354158915760023)×R²
    abs(-0.25128523--0.25138110)×3.17497435254332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.17497435254332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.17497435254332e-05×40589641000000     		ar = 46786.0551347299m²