Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30145 / 7370
↖ ↑ ↗
← N 69.862328°
E151.182861°		 ← 420.58 m → N 69.862328°
E151.193848°		 →
↑
420.61 m
↓
↑
420.61 m
↓
N 69.858546°
E151.182861°		 ← 420.66 m →
176 919 m²		 N 69.858546°
E151.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919967651367188 y=0.224929809570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919967651367188 × 215)
    floor (0.919967651367188 × 32768)
    floor (30145.5)     		tx = 30145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224929809570312 × 215)
    floor (0.224929809570312 × 32768)
    floor (7370.5)     		ty = 7370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30145 / 7370 ti = "15/30145/7370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30145/7370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30145 ÷ 215
    30145 ÷ 32768     		x = 0.919952392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7370 ÷ 215
    7370 ÷ 32768     		y = 0.22491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919952392578125 × 2 - 1) × π
    0.83990478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.63863870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22491455078125 × 2 - 1) × π
    0.5501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72841285270074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63863870} λ = 2.63863870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72841285270074))-π/2
    2×atan(5.63170846056106)-π/2
    2×1.39506198889193-π/2
    2.79012397778387-1.57079632675     		φ = 1.21932765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63863870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.182861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21932765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.862328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30145 KachelY 7370 2.63863870 1.21932765 151.182861 69.862328
    Oben rechts KachelX + 1 30146 KachelY 7370 2.63883045 1.21932765 151.193848 69.862328
    Unten links KachelX 30145 KachelY + 1 7371 2.63863870 1.21926163 151.182861 69.858546
    Unten rechts KachelX + 1 30146 KachelY + 1 7371 2.63883045 1.21926163 151.193848 69.858546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21932765-1.21926163) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dl = 420.61342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21932765-1.21926163) × R
    6.602e-05 × 6371000     		dr = 420.61342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63863870-2.63883045) × cos(1.21932765) × R
    0.000191749999999935 × 0.344277072047393 × 6371000     		do = 420.58238408803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63863870-2.63883045) × cos(1.21926163) × R
    0.000191749999999935 × 0.344339055368614 × 6371000     		du = 420.65810534608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21932765)-sin(1.21926163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344277072047393-0.344339055368614)×R²
    abs(2.63883045-2.63863870)×6.1983321221426e-05×R²
    0.000191749999999935×6.1983321221426e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.1983321221426e-05×40589641000000     		ar = 176918.519715092m²