Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30145 / 20086
↖ ↑ ↗
← N 56.974924°
W 14.408570°		 ← 332.92 m → N 56.974924°
W 14.403076°		 →
↑
332.88 m
↓
↑
332.88 m
↓
N 56.971931°
W 14.408570°		 ← 332.94 m →
110 828 m²		 N 56.971931°
W 14.403076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459983825683594 y=0.306495666503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459983825683594 × 216)
    floor (0.459983825683594 × 65536)
    floor (30145.5)     		tx = 30145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306495666503906 × 216)
    floor (0.306495666503906 × 65536)
    floor (20086.5)     		ty = 20086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30145 / 20086 ti = "16/30145/20086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30145/20086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30145 ÷ 216
    30145 ÷ 65536     		x = 0.459976196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20086 ÷ 216
    20086 ÷ 65536     		y = 0.306488037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459976196289062 × 2 - 1) × π
    -0.080047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25147698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306488037109375 × 2 - 1) × π
    0.38702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2158715219631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25147698} λ = -0.25147698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2158715219631))-π/2
    2×atan(3.37323262994703)-π/2
    2×1.2825981733621-π/2
    2.5651963467242-1.57079632675     		φ = 0.99440002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25147698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.408570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99440002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.974924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30145 KachelY 20086 -0.25147698 0.99440002 -14.408570 56.974924
    Oben rechts KachelX + 1 30146 KachelY 20086 -0.25138110 0.99440002 -14.403076 56.974924
    Unten links KachelX 30145 KachelY + 1 20087 -0.25147698 0.99434777 -14.408570 56.971931
    Unten rechts KachelX + 1 30146 KachelY + 1 20087 -0.25138110 0.99434777 -14.403076 56.971931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99440002-0.99434777) × R
    5.22500000000869e-05 × 6371000     		dl = 332.884750000554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99440002-0.99434777) × R
    5.22500000000869e-05 × 6371000     		dr = 332.884750000554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25147698--0.25138110) × cos(0.99440002) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545006030067149 × 6371000     		do = 332.917740075417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25147698--0.25138110) × cos(0.99434777) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545049837401678 × 6371000     		du = 332.944499850549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99440002)-sin(0.99434777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545006030067149-0.545049837401678)×R²
    abs(-0.25138110--0.25147698)×4.38073345286893e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38073345286893e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38073345286893e-05×40589641000000     		ar = 110827.692661586m²