Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30145 / 20041
↖ ↑ ↗
← N 57.109402°
W 14.408570°		 ← 331.71 m → N 57.109402°
W 14.403076°		 →
↑
331.67 m
↓
↑
331.67 m
↓
N 57.106419°
W 14.408570°		 ← 331.74 m →
110 026 m²		 N 57.106419°
W 14.403076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459983825683594 y=0.305809020996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459983825683594 × 216)
    floor (0.459983825683594 × 65536)
    floor (30145.5)     		tx = 30145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305809020996094 × 216)
    floor (0.305809020996094 × 65536)
    floor (20041.5)     		ty = 20041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30145 / 20041 ti = "16/30145/20041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30145/20041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30145 ÷ 216
    30145 ÷ 65536     		x = 0.459976196289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20041 ÷ 216
    20041 ÷ 65536     		y = 0.305801391601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459976196289062 × 2 - 1) × π
    -0.080047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25147698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305801391601562 × 2 - 1) × π
    0.388397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22018584292891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25147698} λ = -0.25147698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22018584292891))-π/2
    2×atan(3.3878172770068)-π/2
    2×1.28377171396938-π/2
    2.56754342793876-1.57079632675     		φ = 0.99674710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25147698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.408570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99674710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.109402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30145 KachelY 20041 -0.25147698 0.99674710 -14.408570 57.109402
    Oben rechts KachelX + 1 30146 KachelY 20041 -0.25138110 0.99674710 -14.403076 57.109402
    Unten links KachelX 30145 KachelY + 1 20042 -0.25147698 0.99669504 -14.408570 57.106419
    Unten rechts KachelX + 1 30146 KachelY + 1 20042 -0.25138110 0.99669504 -14.403076 57.106419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99674710-0.99669504) × R
    5.20600000000204e-05 × 6371000     		dl = 331.67426000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99674710-0.99669504) × R
    5.20600000000204e-05 × 6371000     		dr = 331.67426000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25147698--0.25138110) × cos(0.99674710) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.543036663443718 × 6371000     		do = 331.714749558831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25147698--0.25138110) × cos(0.99669504) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.543080377957659 × 6371000     		du = 331.74145263437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99674710)-sin(0.99669504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543036663443718-0.543080377957659)×R²
    abs(-0.25138110--0.25147698)×4.37145139412509e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.37145139412509e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.37145139412509e-05×40589641000000     		ar = 110025.672477546m²