Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30144 / 7361
↖ ↑ ↗
← N 69.896342°
E151.171875°		 ← 419.88 m → N 69.896342°
E151.182861°		 →
↑
419.91 m
↓
↑
419.91 m
↓
N 69.892565°
E151.171875°		 ← 419.96 m →
176 329 m²		 N 69.892565°
E151.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919937133789062 y=0.224655151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919937133789062 × 215)
    floor (0.919937133789062 × 32768)
    floor (30144.5)     		tx = 30144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224655151367188 × 215)
    floor (0.224655151367188 × 32768)
    floor (7361.5)     		ty = 7361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30144 / 7361 ti = "15/30144/7361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30144/7361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30144 ÷ 215
    30144 ÷ 32768     		x = 0.919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7361 ÷ 215
    7361 ÷ 32768     		y = 0.224639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919921875 × 2 - 1) × π
    0.83984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63844696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224639892578125 × 2 - 1) × π
    0.55072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73013858108707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63844696} λ = 2.63844696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73013858108707))-π/2
    2×atan(5.6414356505448)-π/2
    2×1.39535881270512-π/2
    2.79071762541024-1.57079632675     		φ = 1.21992130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63844696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21992130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.896342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30144 KachelY 7361 2.63844696 1.21992130 151.171875 69.896342
    Oben rechts KachelX + 1 30145 KachelY 7361 2.63863870 1.21992130 151.182861 69.896342
    Unten links KachelX 30144 KachelY + 1 7362 2.63844696 1.21985539 151.171875 69.892565
    Unten rechts KachelX + 1 30145 KachelY + 1 7362 2.63863870 1.21985539 151.182861 69.892565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21992130-1.21985539) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dl = 419.912610000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21992130-1.21985539) × R
    6.59100000000024e-05 × 6371000     		dr = 419.912610000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63844696-2.63863870) × cos(1.21992130) × R
    0.000191739999999996 × 0.343719652371095 × 6371000     		do = 419.879519953824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63844696-2.63863870) × cos(1.21985539) × R
    0.000191739999999996 × 0.343781545880322 × 6371000     		du = 419.95512755078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21992130)-sin(1.21985539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343719652371095-0.343781545880322)×R²
    abs(2.63863870-2.63844696)×6.18935092267514e-05×R²
    0.000191739999999996×6.18935092267514e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.18935092267514e-05×40589641000000     		ar = 176328.579465279m²