Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30144 / 30016
↖ ↑ ↗
← S 81.621352°
E151.171875°		 ← 178 m → S 81.621352°
E151.182861°		 →
↑
177.94 m
↓
↑
177.94 m
↓
S 81.622952°
E151.171875°		 ← 177.97 m →
31 671 m²		 S 81.622952°
E151.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919937133789062 y=0.916030883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919937133789062 × 215)
    floor (0.919937133789062 × 32768)
    floor (30144.5)     		tx = 30144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916030883789062 × 215)
    floor (0.916030883789062 × 32768)
    floor (30016.5)     		ty = 30016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30144 / 30016 ti = "15/30144/30016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30144/30016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30144 ÷ 215
    30144 ÷ 32768     		x = 0.919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30016 ÷ 215
    30016 ÷ 32768     		y = 0.916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919921875 × 2 - 1) × π
    0.83984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63844696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.916015625 × 2 - 1) × π
    -0.83203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61390326248242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63844696} λ = 2.63844696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61390326248242))-π/2
    2×atan(0.0732480785753369)-π/2
    2×0.0731174998314953-π/2
    0.146234999662991-1.57079632675     		φ = -1.42456133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63844696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42456133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.621352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30144 KachelY 30016 2.63844696 -1.42456133 151.171875 -81.621352
    Oben rechts KachelX + 1 30145 KachelY 30016 2.63863870 -1.42456133 151.182861 -81.621352
    Unten links KachelX 30144 KachelY + 1 30017 2.63844696 -1.42458926 151.171875 -81.622952
    Unten rechts KachelX + 1 30145 KachelY + 1 30017 2.63863870 -1.42458926 151.182861 -81.622952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42456133--1.42458926) × R
    2.79300000001204e-05 × 6371000     		dl = 177.942030000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42456133--1.42458926) × R
    2.79300000001204e-05 × 6371000     		dr = 177.942030000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63844696-2.63863870) × cos(-1.42456133) × R
    0.000191739999999996 × 0.145714355831018 × 6371000     		do = 178.001092910024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63844696-2.63863870) × cos(-1.42458926) × R
    0.000191739999999996 × 0.145686723879354 × 6371000     		du = 177.967338393749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42456133)-sin(-1.42458926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145714355831018-0.145686723879354)×R²
    abs(2.63863870-2.63844696)×2.76319516635259e-05×R²
    0.000191739999999996×2.76319516635259e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.76319516635259e-05×40589641000000     		ar = 31670.872643308m²