Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30144 / 30015
↖ ↑ ↗
← S 81.619750°
E151.171875°		 ← 178.03 m → S 81.619750°
E151.182861°		 →
↑
178.07 m
↓
↑
178.07 m
↓
S 81.621352°
E151.171875°		 ← 178 m →
31 700 m²		 S 81.621352°
E151.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919937133789062 y=0.916000366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919937133789062 × 215)
    floor (0.919937133789062 × 32768)
    floor (30144.5)     		tx = 30144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.916000366210938 × 215)
    floor (0.916000366210938 × 32768)
    floor (30015.5)     		ty = 30015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30144 / 30015 ti = "15/30144/30015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30144/30015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30144 ÷ 215
    30144 ÷ 32768     		x = 0.919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30015 ÷ 215
    30015 ÷ 32768     		y = 0.915985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919921875 × 2 - 1) × π
    0.83984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63844696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915985107421875 × 2 - 1) × π
    -0.83197021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.61371151488394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63844696} λ = 2.63844696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61371151488394))-π/2
    2×atan(0.0732621250651443)-π/2
    2×0.0731314713458263-π/2
    0.146262942691653-1.57079632675     		φ = -1.42453338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63844696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42453338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.619750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30144 KachelY 30015 2.63844696 -1.42453338 151.171875 -81.619750
    Oben rechts KachelX + 1 30145 KachelY 30015 2.63863870 -1.42453338 151.182861 -81.619750
    Unten links KachelX 30144 KachelY + 1 30016 2.63844696 -1.42456133 151.171875 -81.621352
    Unten rechts KachelX + 1 30145 KachelY + 1 30016 2.63863870 -1.42456133 151.182861 -81.621352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42453338--1.42456133) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dl = 178.069449999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42453338--1.42456133) × R
    2.79499999999988e-05 × 6371000     		dr = 178.069449999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63844696-2.63863870) × cos(-1.42453338) × R
    0.000191739999999996 × 0.145742007455464 × 6371000     		do = 178.034871458089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63844696-2.63863870) × cos(-1.42456133) × R
    0.000191739999999996 × 0.145714355831018 × 6371000     		du = 178.001092910024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42453338)-sin(-1.42456133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145742007455464-0.145714355831018)×R²
    abs(2.63863870-2.63844696)×2.76516244465119e-05×R²
    0.000191739999999996×2.76516244465119e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.76516244465119e-05×40589641000000     		ar = 31699.5641801177m²