Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30144 / 20160
↖ ↑ ↗
← N 56.752723°
W 14.414063°		 ← 334.87 m → N 56.752723°
W 14.408570°		 →
↑
334.86 m
↓
↑
334.86 m
↓
N 56.749711°
W 14.414063°		 ← 334.89 m →
112 138 m²		 N 56.749711°
W 14.408570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459968566894531 y=0.307624816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459968566894531 × 216)
    floor (0.459968566894531 × 65536)
    floor (30144.5)     		tx = 30144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307624816894531 × 216)
    floor (0.307624816894531 × 65536)
    floor (20160.5)     		ty = 20160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30144 / 20160 ti = "16/30144/20160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30144/20160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30144 ÷ 216
    30144 ÷ 65536     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20160 ÷ 216
    20160 ÷ 65536     		y = 0.3076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3076171875 × 2 - 1) × π
    0.384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20877686081934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20877686081934))-π/2
    2×atan(3.34938538157927)-π/2
    2×1.28065910018262-π/2
    2.56131820036525-1.57079632675     		φ = 0.99052187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99052187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.752723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30144 KachelY 20160 -0.25157285 0.99052187 -14.414063 56.752723
    Oben rechts KachelX + 1 30145 KachelY 20160 -0.25147698 0.99052187 -14.408570 56.752723
    Unten links KachelX 30144 KachelY + 1 20161 -0.25157285 0.99046931 -14.414063 56.749711
    Unten rechts KachelX + 1 30145 KachelY + 1 20161 -0.25147698 0.99046931 -14.408570 56.749711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99052187-0.99046931) × R
    5.25599999999793e-05 × 6371000     		dl = 334.859759999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99052187-0.99046931) × R
    5.25599999999793e-05 × 6371000     		dr = 334.859759999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.25147698) × cos(0.99052187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548253489006567 × 6371000     		do = 334.866525945033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.25147698) × cos(0.99046931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.548297444818989 × 6371000     		du = 334.893373617681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99052187)-sin(0.99046931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548253489006567-0.548297444818989)×R²
    abs(-0.25147698--0.25157285)×4.3955812422336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3955812422336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3955812422336e-05×40589641000000     		ar = 112137.819638726m²