Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30143 / 30013
↖ ↑ ↗
← S 81.616548°
E151.160889°		 ← 178.11 m → S 81.616548°
E151.171875°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
S 81.618150°
E151.160889°		 ← 178.08 m →
31 725 m²		 S 81.618150°
E151.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919906616210938 y=0.915939331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919906616210938 × 215)
    floor (0.919906616210938 × 32768)
    floor (30143.5)     		tx = 30143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915939331054688 × 215)
    floor (0.915939331054688 × 32768)
    floor (30013.5)     		ty = 30013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30143 / 30013 ti = "15/30143/30013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30143/30013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30143 ÷ 215
    30143 ÷ 32768     		x = 0.919891357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30013 ÷ 215
    30013 ÷ 32768     		y = 0.915924072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919891357421875 × 2 - 1) × π
    0.83978271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63825521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.83184814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61332801968698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63825521} λ = 2.63825521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61332801968698))-π/2
    2×atan(0.0732902261261925)-π/2
    2×0.0731594223269331-π/2
    0.146318844653866-1.57079632675     		φ = -1.42447748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63825521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.160889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42447748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.616548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30143 KachelY 30013 2.63825521 -1.42447748 151.160889 -81.616548
    Oben rechts KachelX + 1 30144 KachelY 30013 2.63844696 -1.42447748 151.171875 -81.616548
    Unten links KachelX 30143 KachelY + 1 30014 2.63825521 -1.42450544 151.160889 -81.618150
    Unten rechts KachelX + 1 30144 KachelY + 1 30014 2.63844696 -1.42450544 151.171875 -81.618150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42447748--1.42450544) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42447748--1.42450544) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63825521-2.63844696) × cos(-1.42447748) × R
    0.000191749999999935 × 0.145797310362774 × 6371000     		do = 178.111716883536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63825521-2.63844696) × cos(-1.42450544) × R
    0.000191749999999935 × 0.145769649072871 × 6371000     		du = 178.077924766085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42447748)-sin(-1.42450544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145797310362774-0.145769649072871)×R²
    abs(2.63844696-2.63825521)×2.76612899023643e-05×R²
    0.000191749999999935×2.76612899023643e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.76612899023643e-05×40589641000000     		ar = 31724.5932146202m²