Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30142 / 20108
↖ ↑ ↗
← N 56.909002°
W 14.425049°		 ← 333.51 m → N 56.909002°
W 14.419555°		 →
↑
333.46 m
↓
↑
333.46 m
↓
N 56.906003°
W 14.425049°		 ← 333.53 m →
111 215 m²		 N 56.906003°
W 14.419555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459938049316406 y=0.306831359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459938049316406 × 216)
    floor (0.459938049316406 × 65536)
    floor (30142.5)     		tx = 30142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306831359863281 × 216)
    floor (0.306831359863281 × 65536)
    floor (20108.5)     		ty = 20108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30142 / 20108 ti = "16/30142/20108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30142/20108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30142 ÷ 216
    30142 ÷ 65536     		x = 0.459930419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20108 ÷ 216
    20108 ÷ 65536     		y = 0.30682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.08013916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25176460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30682373046875 × 2 - 1) × π
    0.3863525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21376229837982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25176460} λ = -0.25176460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21376229837982))-π/2
    2×atan(3.36612522631868)-π/2
    2×1.28202289518019-π/2
    2.56404579036038-1.57079632675     		φ = 0.99324946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25176460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.425049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99324946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.909002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30142 KachelY 20108 -0.25176460 0.99324946 -14.425049 56.909002
    Oben rechts KachelX + 1 30143 KachelY 20108 -0.25166872 0.99324946 -14.419555 56.909002
    Unten links KachelX 30142 KachelY + 1 20109 -0.25176460 0.99319712 -14.425049 56.906003
    Unten rechts KachelX + 1 30143 KachelY + 1 20109 -0.25166872 0.99319712 -14.419555 56.906003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99324946-0.99319712) × R
    5.23399999999841e-05 × 6371000     		dl = 333.458139999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99324946-0.99319712) × R
    5.23399999999841e-05 × 6371000     		dr = 333.458139999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25176460--0.25166872) × cos(0.99324946) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545970335583072 × 6371000     		do = 333.506787526991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25176460--0.25166872) × cos(0.99319712) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546014185523135 × 6371000     		du = 333.533573327776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99324946)-sin(0.99319712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545970335583072-0.546014185523135)×R²
    abs(-0.25166872--0.25176460)×4.3849940062457e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3849940062457e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3849940062457e-05×40589641000000     		ar = 111215.019043225m²