Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30141 / 41051
↖ ↑ ↗
← S 41.356196°
W 14.430542°		 ← 458.47 m → S 41.356196°
W 14.425049°		 →
↑
458.46 m
↓
↑
458.46 m
↓
S 41.360319°
W 14.430542°		 ← 458.44 m →
210 181 m²		 S 41.360319°
W 14.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459922790527344 y=0.626396179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459922790527344 × 216)
    floor (0.459922790527344 × 65536)
    floor (30141.5)     		tx = 30141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626396179199219 × 216)
    floor (0.626396179199219 × 65536)
    floor (41051.5)     		ty = 41051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30141 / 41051 ti = "16/30141/41051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30141/41051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30141 ÷ 216
    30141 ÷ 65536     		x = 0.459915161132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41051 ÷ 216
    41051 ÷ 65536     		y = 0.626388549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459915161132812 × 2 - 1) × π
    -0.080169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25186047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626388549804688 × 2 - 1) × π
    -0.252777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.79412267910585
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25186047} λ = -0.25186047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.79412267910585))-π/2
    2×atan(0.451977590415451)-π/2
    2×0.424497274319135-π/2
    0.848994548638269-1.57079632675     		φ = -0.72180178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25186047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.430542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72180178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.356196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30141 KachelY 41051 -0.25186047 -0.72180178 -14.430542 -41.356196
    Oben rechts KachelX + 1 30142 KachelY 41051 -0.25176460 -0.72180178 -14.425049 -41.356196
    Unten links KachelX 30141 KachelY + 1 41052 -0.25186047 -0.72187374 -14.430542 -41.360319
    Unten rechts KachelX + 1 30142 KachelY + 1 41052 -0.25176460 -0.72187374 -14.425049 -41.360319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72180178--0.72187374) × R
    7.19600000000931e-05 × 6371000     		dl = 458.457160000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72180178--0.72187374) × R
    7.19600000000931e-05 × 6371000     		dr = 458.457160000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25186047--0.25176460) × cos(-0.72180178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750616443334528 × 6371000     		do = 458.467343549617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25186047--0.25176460) × cos(-0.72187374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750568894671019 × 6371000     		du = 458.438301407467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72180178)-sin(-0.72187374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750616443334528-0.750568894671019)×R²
    abs(-0.25176460--0.25186047)×4.75486635084232e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75486635084232e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75486635084232e-05×40589641000000     		ar = 210180.979078452m²