Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30139 / 15303
↖ ↑ ↗
← N 68.770224°
W 14.441528°		 ← 221.19 m → N 68.770224°
W 14.436035°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
N 68.768235°
W 14.441528°		 ← 221.21 m →
48 931 m²		 N 68.768235°
W 14.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459892272949219 y=0.233512878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459892272949219 × 216)
    floor (0.459892272949219 × 65536)
    floor (30139.5)     		tx = 30139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233512878417969 × 216)
    floor (0.233512878417969 × 65536)
    floor (15303.5)     		ty = 15303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30139 / 15303 ti = "16/30139/15303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30139/15303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30139 ÷ 216
    30139 ÷ 65536     		x = 0.459884643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15303 ÷ 216
    15303 ÷ 65536     		y = 0.233505249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459884643554688 × 2 - 1) × π
    -0.080230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25205222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233505249023438 × 2 - 1) × π
    0.532989501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67443590372856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25205222} λ = -0.25205222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67443590372856))-π/2
    2×atan(5.33578440389051)-π/2
    2×1.38553158376354-π/2
    2.77106316752708-1.57079632675     		φ = 1.20026684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25205222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.441528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20026684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.770224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30139 KachelY 15303 -0.25205222 1.20026684 -14.441528 68.770224
    Oben rechts KachelX + 1 30140 KachelY 15303 -0.25195634 1.20026684 -14.436035 68.770224
    Unten links KachelX 30139 KachelY + 1 15304 -0.25205222 1.20023212 -14.441528 68.768235
    Unten rechts KachelX + 1 30140 KachelY + 1 15304 -0.25195634 1.20023212 -14.436035 68.768235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20026684-1.20023212) × R
    3.47200000001546e-05 × 6371000     		dl = 221.201120000985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20026684-1.20023212) × R
    3.47200000001546e-05 × 6371000     		dr = 221.201120000985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25205222--0.25195634) × cos(1.20026684) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.36210903626934 × 6371000     		do = 221.194840726483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25205222--0.25195634) × cos(1.20023212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.362141399804119 × 6371000     		du = 221.214610039601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20026684)-sin(1.20023212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36210903626934-0.362141399804119)×R²
    abs(-0.25195634--0.25205222)×3.23635347793672e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.23635347793672e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.23635347793672e-05×40589641000000     		ar = 48930.7330094262m²