Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30137 / 15304
↖ ↑ ↗
← N 68.768235°
W 14.452515°		 ← 221.21 m → N 68.768235°
W 14.447021°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
N 68.766246°
W 14.452515°		 ← 221.23 m →
48 935 m²		 N 68.766246°
W 14.447021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459861755371094 y=0.233528137207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459861755371094 × 216)
    floor (0.459861755371094 × 65536)
    floor (30137.5)     		tx = 30137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233528137207031 × 216)
    floor (0.233528137207031 × 65536)
    floor (15304.5)     		ty = 15304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30137 / 15304 ti = "16/30137/15304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30137/15304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30137 ÷ 216
    30137 ÷ 65536     		x = 0.459854125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15304 ÷ 216
    15304 ÷ 65536     		y = 0.2335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459854125976562 × 2 - 1) × π
    -0.080291748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25224397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2335205078125 × 2 - 1) × π
    0.532958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67434002992932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25224397} λ = -0.25224397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67434002992932))-π/2
    2×atan(5.33527286648969)-π/2
    2×1.38551422460339-π/2
    2.77102844920678-1.57079632675     		φ = 1.20023212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25224397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.452515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20023212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.768235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30137 KachelY 15304 -0.25224397 1.20023212 -14.452515 68.768235
    Oben rechts KachelX + 1 30138 KachelY 15304 -0.25214809 1.20023212 -14.447021 68.768235
    Unten links KachelX 30137 KachelY + 1 15305 -0.25224397 1.20019740 -14.452515 68.766246
    Unten rechts KachelX + 1 30138 KachelY + 1 15305 -0.25214809 1.20019740 -14.447021 68.766246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20023212-1.20019740) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dl = 221.20111999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20023212-1.20019740) × R
    3.47199999999326e-05 × 6371000     		dr = 221.20111999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25224397--0.25214809) × cos(1.20023212) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.362141399804119 × 6371000     		do = 221.214610039601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25224397--0.25214809) × cos(1.20019740) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.362173762902345 × 6371000     		du = 221.234379086049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20023212)-sin(1.20019740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362141399804119-0.362173762902345)×R²
    abs(-0.25214809--0.25224397)×3.23630982255185e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.23630982255185e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.23630982255185e-05×40589641000000     		ar = 48935.1059734381m²