Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30136 / 15306
↖ ↑ ↗
← N 68.764256°
W 14.458008°		 ← 221.23 m → N 68.764256°
W 14.452515°		 →
↑
221.26 m
↓
↑
221.26 m
↓
N 68.762266°
W 14.458008°		 ← 221.25 m →
48 953 m²		 N 68.762266°
W 14.452515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459846496582031 y=0.233558654785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459846496582031 × 216)
    floor (0.459846496582031 × 65536)
    floor (30136.5)     		tx = 30136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233558654785156 × 216)
    floor (0.233558654785156 × 65536)
    floor (15306.5)     		ty = 15306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30136 / 15306 ti = "16/30136/15306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30136/15306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30136 ÷ 216
    30136 ÷ 65536     		x = 0.4598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15306 ÷ 216
    15306 ÷ 65536     		y = 0.233551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25233984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233551025390625 × 2 - 1) × π
    0.53289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.67414828233084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25233984} λ = -0.25233984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67414828233084))-π/2
    2×atan(5.3342499388054)-π/2
    2×1.38547950162881-π/2
    2.77095900325761-1.57079632675     		φ = 1.20016268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25233984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20016268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.764256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30136 KachelY 15306 -0.25233984 1.20016268 -14.458008 68.764256
    Oben rechts KachelX + 1 30137 KachelY 15306 -0.25224397 1.20016268 -14.452515 68.764256
    Unten links KachelX 30136 KachelY + 1 15307 -0.25233984 1.20012795 -14.458008 68.762266
    Unten rechts KachelX + 1 30137 KachelY + 1 15307 -0.25224397 1.20012795 -14.452515 68.762266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20016268-1.20012795) × R
    3.47300000000939e-05 × 6371000     		dl = 221.264830000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20016268-1.20012795) × R
    3.47300000000939e-05 × 6371000     		dr = 221.264830000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25233984--0.25224397) × cos(1.20016268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362206125563978 × 6371000     		do = 221.231071713557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25233984--0.25224397) × cos(1.20012795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362238497109833 × 6371000     		du = 221.250843857862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20016268)-sin(1.20012795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362206125563978-0.362238497109833)×R²
    abs(-0.25224397--0.25233984)×3.23715458557805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.23715458557805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.23715458557805e-05×40589641000000     		ar = 48952.8429188855m²