Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30135 / 20038
↖ ↑ ↗
← N 57.118350°
W 14.463501°		 ← 331.60 m → N 57.118350°
W 14.458008°		 →
↑
331.61 m
↓
↑
331.61 m
↓
N 57.115368°
W 14.463501°		 ← 331.63 m →
109 967 m²		 N 57.115368°
W 14.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459831237792969 y=0.305763244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459831237792969 × 216)
    floor (0.459831237792969 × 65536)
    floor (30135.5)     		tx = 30135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305763244628906 × 216)
    floor (0.305763244628906 × 65536)
    floor (20038.5)     		ty = 20038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30135 / 20038 ti = "16/30135/20038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30135/20038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30135 ÷ 216
    30135 ÷ 65536     		x = 0.459823608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20038 ÷ 216
    20038 ÷ 65536     		y = 0.305755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459823608398438 × 2 - 1) × π
    -0.080352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25243571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305755615234375 × 2 - 1) × π
    0.38848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.22047346432663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25243571} λ = -0.25243571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22047346432663))-π/2
    2×atan(3.38879182589107)-π/2
    2×1.28384979902114-π/2
    2.56769959804227-1.57079632675     		φ = 0.99690327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25243571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.463501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99690327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.118350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30135 KachelY 20038 -0.25243571 0.99690327 -14.463501 57.118350
    Oben rechts KachelX + 1 30136 KachelY 20038 -0.25233984 0.99690327 -14.458008 57.118350
    Unten links KachelX 30135 KachelY + 1 20039 -0.25243571 0.99685122 -14.463501 57.115368
    Unten rechts KachelX + 1 30136 KachelY + 1 20039 -0.25233984 0.99685122 -14.458008 57.115368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99690327-0.99685122) × R
    5.20499999999702e-05 × 6371000     		dl = 331.61054999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99690327-0.99685122) × R
    5.20499999999702e-05 × 6371000     		dr = 331.61054999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25243571--0.25233984) × cos(0.99690327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542905519469736 × 6371000     		do = 331.600051557604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25243571--0.25233984) × cos(0.99685122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.542949230000669 × 6371000     		du = 331.626749415318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99690327)-sin(0.99685122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542905519469736-0.542949230000669)×R²
    abs(-0.25233984--0.25243571)×4.37105309327723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37105309327723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37105309327723e-05×40589641000000     		ar = 109966.502147263m²