Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30132 / 29968
↖ ↑ ↗
← S 81.544159°
E151.040039°		 ← 179.64 m → S 81.544159°
E151.051025°		 →
↑
179.66 m
↓
↑
179.66 m
↓
S 81.545775°
E151.040039°		 ← 179.60 m →
32 271 m²		 S 81.545775°
E151.051025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919570922851562 y=0.914566040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919570922851562 × 215)
    floor (0.919570922851562 × 32768)
    floor (30132.5)     		tx = 30132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914566040039062 × 215)
    floor (0.914566040039062 × 32768)
    floor (29968.5)     		ty = 29968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30132 / 29968 ti = "15/30132/29968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30132/29968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30132 ÷ 215
    30132 ÷ 32768     		x = 0.9195556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29968 ÷ 215
    29968 ÷ 32768     		y = 0.91455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9195556640625 × 2 - 1) × π
    0.839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63614598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    -0.8291015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60469937775537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63614598} λ = 2.63614598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60469937775537))-π/2
    2×atan(0.0739253574643313)-π/2
    2×0.0737911309792151-π/2
    0.14758226195843-1.57079632675     		φ = -1.42321406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63614598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.040039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42321406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.544159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30132 KachelY 29968 2.63614598 -1.42321406 151.040039 -81.544159
    Oben rechts KachelX + 1 30133 KachelY 29968 2.63633773 -1.42321406 151.051025 -81.544159
    Unten links KachelX 30132 KachelY + 1 29969 2.63614598 -1.42324226 151.040039 -81.545775
    Unten rechts KachelX + 1 30133 KachelY + 1 29969 2.63633773 -1.42324226 151.051025 -81.545775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42321406--1.42324226) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dl = 179.662200000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42321406--1.42324226) × R
    2.82000000000338e-05 × 6371000     		dr = 179.662200000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63614598-2.63633773) × cos(-1.42321406) × R
    0.000191749999999935 × 0.147047113370081 × 6371000     		do = 179.63852529203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63614598-2.63633773) × cos(-1.42324226) × R
    0.000191749999999935 × 0.14701921986002 × 6371000     		du = 179.604449485319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42321406)-sin(-1.42324226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147047113370081-0.14701921986002)×R²
    abs(2.63633773-2.63614598)×2.78935100612721e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78935100612721e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78935100612721e-05×40589641000000     		ar = 32271.1915932881m²