Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30132 / 15352
↖ ↑ ↗
← N 68.672544°
W 14.479980°		 ← 222.14 m → N 68.672544°
W 14.474487°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
N 68.670546°
W 14.479980°		 ← 222.16 m →
49 353 m²		 N 68.670546°
W 14.474487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459785461425781 y=0.234260559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459785461425781 × 216)
    floor (0.459785461425781 × 65536)
    floor (30132.5)     		tx = 30132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234260559082031 × 216)
    floor (0.234260559082031 × 65536)
    floor (15352.5)     		ty = 15352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30132 / 15352 ti = "16/30132/15352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30132/15352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30132 ÷ 216
    30132 ÷ 65536     		x = 0.45977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15352 ÷ 216
    15352 ÷ 65536     		y = 0.2342529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25272333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2342529296875 × 2 - 1) × π
    0.531494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.6697380875658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25272333} λ = -0.25272333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6697380875658))-π/2
    2×atan(5.31077665656897)-π/2
    2×1.3846791583107-π/2
    2.76935831662139-1.57079632675     		φ = 1.19856199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25272333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.479980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19856199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.672544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30132 KachelY 15352 -0.25272333 1.19856199 -14.479980 68.672544
    Oben rechts KachelX + 1 30133 KachelY 15352 -0.25262746 1.19856199 -14.474487 68.672544
    Unten links KachelX 30132 KachelY + 1 15353 -0.25272333 1.19852712 -14.479980 68.670546
    Unten rechts KachelX + 1 30133 KachelY + 1 15353 -0.25262746 1.19852712 -14.474487 68.670546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19856199-1.19852712) × R
    3.48699999999091e-05 × 6371000     		dl = 222.156769999421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19856199-1.19852712) × R
    3.48699999999091e-05 × 6371000     		dr = 222.156769999421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25272333--0.25262746) × cos(1.19856199) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363697660885963 × 6371000     		do = 222.142083246749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25272333--0.25262746) × cos(1.19852712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363730142664321 × 6371000     		du = 222.161922719718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19856199)-sin(1.19852712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363697660885963-0.363730142664321)×R²
    abs(-0.25262746--0.25272333)×3.24817783580733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24817783580733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24817783580733e-05×40589641000000     		ar = 49352.5714368709m²