Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30131 / 29963
↖ ↑ ↗
← S 81.536078°
E151.029053°		 ← 179.80 m → S 81.536078°
E151.040039°		 →
↑
179.79 m
↓
↑
179.79 m
↓
S 81.537695°
E151.029053°		 ← 179.77 m →
32 323 m²		 S 81.537695°
E151.040039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919540405273438 y=0.914413452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919540405273438 × 215)
    floor (0.919540405273438 × 32768)
    floor (30131.5)     		tx = 30131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914413452148438 × 215)
    floor (0.914413452148438 × 32768)
    floor (29963.5)     		ty = 29963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30131 / 29963 ti = "15/30131/29963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30131/29963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30131 ÷ 215
    30131 ÷ 32768     		x = 0.919525146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29963 ÷ 215
    29963 ÷ 32768     		y = 0.914398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919525146484375 × 2 - 1) × π
    0.83905029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.63595424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.82879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60374063976297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63595424} λ = 2.63595424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60374063976297))-π/2
    2×atan(0.0739962664992956)-π/2
    2×0.0738616542377014-π/2
    0.147723308475403-1.57079632675     		φ = -1.42307302
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63595424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.029053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42307302 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.536078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30131 KachelY 29963 2.63595424 -1.42307302 151.029053 -81.536078
    Oben rechts KachelX + 1 30132 KachelY 29963 2.63614598 -1.42307302 151.040039 -81.536078
    Unten links KachelX 30131 KachelY + 1 29964 2.63595424 -1.42310124 151.029053 -81.537695
    Unten rechts KachelX + 1 30132 KachelY + 1 29964 2.63614598 -1.42310124 151.040039 -81.537695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42307302--1.42310124) × R
    2.82200000001342e-05 × 6371000     		dl = 179.789620000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42307302--1.42310124) × R
    2.82200000001342e-05 × 6371000     		dr = 179.789620000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63595424-2.63614598) × cos(-1.42307302) × R
    0.00019174000000044 × 0.147186618730227 × 6371000     		do = 179.799573256564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63595424-2.63614598) × cos(-1.42310124) × R
    0.00019174000000044 × 0.147158706022985 × 6371000     		du = 179.765475776141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42307302)-sin(-1.42310124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147186618730227-0.147158706022985)×R²
    abs(2.63614598-2.63595424)×2.79127072426444e-05×R²
    0.00019174000000044×2.79127072426444e-05×6371000²
    0.00019174000000044×2.79127072426444e-05×40589641000000     		ar = 32323.0317676618m²