Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30131 / 20240
↖ ↑ ↗
← N 56.511018°
W 14.485474°		 ← 337.05 m → N 56.511018°
W 14.479980°		 →
↑
337.03 m
↓
↑
337.03 m
↓
N 56.507987°
W 14.485474°		 ← 337.08 m →
113 600 m²		 N 56.507987°
W 14.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459770202636719 y=0.308845520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459770202636719 × 216)
    floor (0.459770202636719 × 65536)
    floor (30131.5)     		tx = 30131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308845520019531 × 216)
    floor (0.308845520019531 × 65536)
    floor (20240.5)     		ty = 20240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30131 / 20240 ti = "16/30131/20240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30131/20240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30131 ÷ 216
    30131 ÷ 65536     		x = 0.459762573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20240 ÷ 216
    20240 ÷ 65536     		y = 0.308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459762573242188 × 2 - 1) × π
    -0.080474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25281921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308837890625 × 2 - 1) × π
    0.38232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20110695688013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25281921} λ = -0.25281921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20110695688013))-π/2
    2×atan(3.32379418391628)-π/2
    2×1.27854982294476-π/2
    2.55709964588952-1.57079632675     		φ = 0.98630332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25281921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.485474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98630332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.511018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30131 KachelY 20240 -0.25281921 0.98630332 -14.485474 56.511018
    Oben rechts KachelX + 1 30132 KachelY 20240 -0.25272333 0.98630332 -14.479980 56.511018
    Unten links KachelX 30131 KachelY + 1 20241 -0.25281921 0.98625042 -14.485474 56.507987
    Unten rechts KachelX + 1 30132 KachelY + 1 20241 -0.25272333 0.98625042 -14.479980 56.507987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98630332-0.98625042) × R
    5.29000000000224e-05 × 6371000     		dl = 337.025900000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98630332-0.98625042) × R
    5.29000000000224e-05 × 6371000     		dr = 337.025900000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25281921--0.25272333) × cos(0.98630332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551776625016533 × 6371000     		do = 337.053568020728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25281921--0.25272333) × cos(0.98625042) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551820742418093 × 6371000     		du = 337.080517200765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98630332)-sin(0.98625042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551776625016533-0.551820742418093)×R²
    abs(-0.25272333--0.25281921)×4.41174015600732e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41174015600732e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41174015600732e-05×40589641000000     		ar = 113600.323422908m²