Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30131 / 15335
↖ ↑ ↗
← N 68.706481°
W 14.485474°		 ← 221.83 m → N 68.706481°
W 14.479980°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 68.704486°
W 14.485474°		 ← 221.85 m →
49 198 m²		 N 68.704486°
W 14.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459770202636719 y=0.234001159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459770202636719 × 216)
    floor (0.459770202636719 × 65536)
    floor (30131.5)     		tx = 30131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234001159667969 × 216)
    floor (0.234001159667969 × 65536)
    floor (15335.5)     		ty = 15335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30131 / 15335 ti = "16/30131/15335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30131/15335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30131 ÷ 216
    30131 ÷ 65536     		x = 0.459762573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15335 ÷ 216
    15335 ÷ 65536     		y = 0.233993530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459762573242188 × 2 - 1) × π
    -0.080474853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25281921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233993530273438 × 2 - 1) × π
    0.532012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67136794215288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25281921} λ = -0.25281921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67136794215288))-π/2
    2×atan(5.31943950793998)-π/2
    2×1.38497532056476-π/2
    2.76995064112952-1.57079632675     		φ = 1.19915431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25281921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.485474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19915431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.706481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30131 KachelY 15335 -0.25281921 1.19915431 -14.485474 68.706481
    Oben rechts KachelX + 1 30132 KachelY 15335 -0.25272333 1.19915431 -14.479980 68.706481
    Unten links KachelX 30131 KachelY + 1 15336 -0.25281921 1.19911950 -14.485474 68.704486
    Unten rechts KachelX + 1 30132 KachelY + 1 15336 -0.25272333 1.19911950 -14.479980 68.704486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19915431-1.19911950) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19915431-1.19911950) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25281921--0.25272333) × cos(1.19915431) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363145840939732 × 6371000     		do = 221.828174393863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25281921--0.25272333) × cos(1.19911950) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363178274321431 × 6371000     		du = 221.847986373075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19915431)-sin(1.19911950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363145840939732-0.363178274321431)×R²
    abs(-0.25272333--0.25281921)×3.24333816993927e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.24333816993927e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.24333816993927e-05×40589641000000     		ar = 49198.0315817449m²