Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30130 / 29967
↖ ↑ ↗
← S 81.542544°
E151.018066°		 ← 179.67 m → S 81.542544°
E151.029053°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
S 81.544159°
E151.018066°		 ← 179.64 m →
32 266 m²		 S 81.544159°
E151.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919509887695312 y=0.914535522460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919509887695312 × 215)
    floor (0.919509887695312 × 32768)
    floor (30130.5)     		tx = 30130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914535522460938 × 215)
    floor (0.914535522460938 × 32768)
    floor (29967.5)     		ty = 29967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30130 / 29967 ti = "15/30130/29967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30130/29967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30130 ÷ 215
    30130 ÷ 32768     		x = 0.91949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29967 ÷ 215
    29967 ÷ 32768     		y = 0.914520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91949462890625 × 2 - 1) × π
    0.8389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63576249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.82904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60450763015689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63576249} λ = 2.63576249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60450763015689))-π/2
    2×atan(0.0739395338331908)-π/2
    2×0.0738052302811978-π/2
    0.147610460562396-1.57079632675     		φ = -1.42318587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63576249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.018066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42318587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.542544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30130 KachelY 29967 2.63576249 -1.42318587 151.018066 -81.542544
    Oben rechts KachelX + 1 30131 KachelY 29967 2.63595424 -1.42318587 151.029053 -81.542544
    Unten links KachelX 30130 KachelY + 1 29968 2.63576249 -1.42321406 151.018066 -81.544159
    Unten rechts KachelX + 1 30131 KachelY + 1 29968 2.63595424 -1.42321406 151.029053 -81.544159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42318587--1.42321406) × R
    2.81900000000945e-05 × 6371000     		dl = 179.598490000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42318587--1.42321406) × R
    2.81900000000945e-05 × 6371000     		dr = 179.598490000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63576249-2.63595424) × cos(-1.42318587) × R
    0.000191749999999935 × 0.147074996871951 × 6371000     		do = 179.672588872342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63576249-2.63595424) × cos(-1.42321406) × R
    0.000191749999999935 × 0.147047113370081 × 6371000     		du = 179.63852529203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42318587)-sin(-1.42321406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147074996871951-0.147047113370081)×R²
    abs(2.63595424-2.63576249)×2.78835018701629e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78835018701629e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78835018701629e-05×40589641000000     		ar = 32265.8667743118m²