Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30130 / 29966
↖ ↑ ↗
← S 81.540928°
E151.018066°		 ← 179.71 m → S 81.540928°
E151.029053°		 →
↑
179.73 m
↓
↑
179.73 m
↓
S 81.542544°
E151.018066°		 ← 179.67 m →
32 295 m²		 S 81.542544°
E151.029053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919509887695312 y=0.914505004882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919509887695312 × 215)
    floor (0.919509887695312 × 32768)
    floor (30130.5)     		tx = 30130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914505004882812 × 215)
    floor (0.914505004882812 × 32768)
    floor (29966.5)     		ty = 29966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30130 / 29966 ti = "15/30130/29966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30130/29966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30130 ÷ 215
    30130 ÷ 32768     		x = 0.91949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29966 ÷ 215
    29966 ÷ 32768     		y = 0.91448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91949462890625 × 2 - 1) × π
    0.8389892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63576249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.8289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60431588255841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63576249} λ = 2.63576249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60431588255841))-π/2
    2×atan(0.0739537129205956)-π/2
    2×0.0738193322575417-π/2
    0.147638664515083-1.57079632675     		φ = -1.42315766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63576249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 151.018066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42315766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.540928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30130 KachelY 29966 2.63576249 -1.42315766 151.018066 -81.540928
    Oben rechts KachelX + 1 30131 KachelY 29966 2.63595424 -1.42315766 151.029053 -81.540928
    Unten links KachelX 30130 KachelY + 1 29967 2.63576249 -1.42318587 151.018066 -81.542544
    Unten rechts KachelX + 1 30131 KachelY + 1 29967 2.63595424 -1.42318587 151.029053 -81.542544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42315766--1.42318587) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dl = 179.725909999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42315766--1.42318587) × R
    2.8209999999973e-05 × 6371000     		dr = 179.725909999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63576249-2.63595424) × cos(-1.42315766) × R
    0.000191749999999935 × 0.147102900039368 × 6371000     		do = 179.706676476858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63576249-2.63595424) × cos(-1.42318587) × R
    0.000191749999999935 × 0.147074996871951 × 6371000     		du = 179.672588872342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42315766)-sin(-1.42318587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147102900039368-0.147074996871951)×R²
    abs(2.63595424-2.63576249)×2.79031674169927e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79031674169927e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79031674169927e-05×40589641000000     		ar = 32294.8827521305m²