Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30129 / 19855
↖ ↑ ↗
← N 57.660096°
W 14.496460°		 ← 326.77 m → N 57.660096°
W 14.490967°		 →
↑
326.77 m
↓
↑
326.77 m
↓
N 57.657158°
W 14.496460°		 ← 326.80 m →
106 782 m²		 N 57.657158°
W 14.490967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459739685058594 y=0.302970886230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459739685058594 × 216)
    floor (0.459739685058594 × 65536)
    floor (30129.5)     		tx = 30129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302970886230469 × 216)
    floor (0.302970886230469 × 65536)
    floor (19855.5)     		ty = 19855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30129 / 19855 ti = "16/30129/19855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30129/19855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30129 ÷ 216
    30129 ÷ 65536     		x = 0.459732055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19855 ÷ 216
    19855 ÷ 65536     		y = 0.302963256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459732055664062 × 2 - 1) × π
    -0.080535888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25301096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302963256835938 × 2 - 1) × π
    0.394073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23801836958757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25301096} λ = -0.25301096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23801836958757))-π/2
    2×atan(3.4487724964014)-π/2
    2×1.28857742653584-π/2
    2.57715485307167-1.57079632675     		φ = 1.00635853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25301096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.496460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00635853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.660096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30129 KachelY 19855 -0.25301096 1.00635853 -14.496460 57.660096
    Oben rechts KachelX + 1 30130 KachelY 19855 -0.25291508 1.00635853 -14.490967 57.660096
    Unten links KachelX 30129 KachelY + 1 19856 -0.25301096 1.00630724 -14.496460 57.657158
    Unten rechts KachelX + 1 30130 KachelY + 1 19856 -0.25291508 1.00630724 -14.490967 57.657158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00635853-1.00630724) × R
    5.12900000000371e-05 × 6371000     		dl = 326.768590000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00635853-1.00630724) × R
    5.12900000000371e-05 × 6371000     		dr = 326.768590000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25301096--0.25291508) × cos(1.00635853) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.534940901002955 × 6371000     		do = 326.769441090163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25301096--0.25291508) × cos(1.00630724) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.53498423468071 × 6371000     		du = 326.795911531354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00635853)-sin(1.00630724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534940901002955-0.53498423468071)×R²
    abs(-0.25291508--0.25301096)×4.33336777555526e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33336777555526e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33336777555526e-05×40589641000000     		ar = 106782.314397983m²