Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30128 / 41009
↖ ↑ ↗
← S 41.182788°
W 14.501953°		 ← 459.69 m → S 41.182788°
W 14.496460°		 →
↑
459.67 m
↓
↑
459.67 m
↓
S 41.186922°
W 14.501953°		 ← 459.66 m →
211 296 m²		 S 41.186922°
W 14.496460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459724426269531 y=0.625755310058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459724426269531 × 216)
    floor (0.459724426269531 × 65536)
    floor (30128.5)     		tx = 30128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625755310058594 × 216)
    floor (0.625755310058594 × 65536)
    floor (41009.5)     		ty = 41009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30128 / 41009 ti = "16/30128/41009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30128/41009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30128 ÷ 216
    30128 ÷ 65536     		x = 0.459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41009 ÷ 216
    41009 ÷ 65536     		y = 0.625747680664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.08056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25310683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625747680664062 × 2 - 1) × π
    -0.251495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.790095979537766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25310683} λ = -0.25310683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790095979537766))-π/2
    2×atan(0.453801237559046)-π/2
    2×0.426010537667216-π/2
    0.852021075334432-1.57079632675     		φ = -0.71877525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25310683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71877525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.182788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30128 KachelY 41009 -0.25310683 -0.71877525 -14.501953 -41.182788
    Oben rechts KachelX + 1 30129 KachelY 41009 -0.25301096 -0.71877525 -14.496460 -41.182788
    Unten links KachelX 30128 KachelY + 1 41010 -0.25310683 -0.71884740 -14.501953 -41.186922
    Unten rechts KachelX + 1 30129 KachelY + 1 41010 -0.25301096 -0.71884740 -14.496460 -41.186922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71877525--0.71884740) × R
    7.21500000000486e-05 × 6371000     		dl = 459.667650000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71877525--0.71884740) × R
    7.21500000000486e-05 × 6371000     		dr = 459.667650000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25310683--0.25301096) × cos(-0.71877525) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.752612746457046 × 6371000     		do = 459.686661082065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25310683--0.25301096) × cos(-0.71884740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75256523636361 × 6371000     		du = 459.657642498042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71877525)-sin(-0.71884740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752612746457046-0.75256523636361)×R²
    abs(-0.25301096--0.25310683)×4.75100934368422e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75100934368422e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75100934368422e-05×40589641000000     		ar = 211296.417875576m²