Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30127 / 29998
↖ ↑ ↗
← S 81.592487°
E150.985108°		 ← 178.61 m → S 81.592487°
E150.996094°		 →
↑
178.58 m
↓
↑
178.58 m
↓
S 81.594093°
E150.985108°		 ← 178.58 m →
31 893 m²		 S 81.594093°
E150.996094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919418334960938 y=0.915481567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919418334960938 × 215)
    floor (0.919418334960938 × 32768)
    floor (30127.5)     		tx = 30127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915481567382812 × 215)
    floor (0.915481567382812 × 32768)
    floor (29998.5)     		ty = 29998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30127 / 29998 ti = "15/30127/29998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30127/29998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30127 ÷ 215
    30127 ÷ 32768     		x = 0.919403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29998 ÷ 215
    29998 ÷ 32768     		y = 0.91546630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919403076171875 × 2 - 1) × π
    0.83880615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.63518725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.8309326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61045180570978
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63518725} λ = 2.63518725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61045180570978))-π/2
    2×atan(0.0735013279404332)-π/2
    2×0.0733693930407555-π/2
    0.146738786081511-1.57079632675     		φ = -1.42405754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63518725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.985108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42405754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.592487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30127 KachelY 29998 2.63518725 -1.42405754 150.985108 -81.592487
    Oben rechts KachelX + 1 30128 KachelY 29998 2.63537899 -1.42405754 150.996094 -81.592487
    Unten links KachelX 30127 KachelY + 1 29999 2.63518725 -1.42408557 150.985108 -81.594093
    Unten rechts KachelX + 1 30128 KachelY + 1 29999 2.63537899 -1.42408557 150.996094 -81.594093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42405754--1.42408557) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dl = 178.579129999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42405754--1.42408557) × R
    2.80299999999567e-05 × 6371000     		dr = 178.579129999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63518725-2.63537899) × cos(-1.42405754) × R
    0.000191739999999996 × 0.146212750218484 × 6371000     		do = 178.609919303026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63518725-2.63537899) × cos(-1.42408557) × R
    0.000191739999999996 × 0.146185021394733 × 6371000     		du = 178.576046450178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42405754)-sin(-1.42408557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146212750218484-0.146185021394733)×R²
    abs(2.63537899-2.63518725)×2.77288237517104e-05×R²
    0.000191739999999996×2.77288237517104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.77288237517104e-05×40589641000000     		ar = 31892.979508167m²