Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30127 / 17050
↖ ↑ ↗
← N 65.011866°
W 14.507446°		 ← 258.02 m → N 65.011866°
W 14.501953°		 →
↑
258.03 m
↓
↑
258.03 m
↓
N 65.009545°
W 14.507446°		 ← 258.04 m →
66 577 m²		 N 65.009545°
W 14.501953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459709167480469 y=0.260169982910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459709167480469 × 216)
    floor (0.459709167480469 × 65536)
    floor (30127.5)     		tx = 30127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260169982910156 × 216)
    floor (0.260169982910156 × 65536)
    floor (17050.5)     		ty = 17050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30127 / 17050 ti = "16/30127/17050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30127/17050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30127 ÷ 216
    30127 ÷ 65536     		x = 0.459701538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17050 ÷ 216
    17050 ÷ 65536     		y = 0.260162353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459701538085938 × 2 - 1) × π
    -0.080596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25320270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260162353515625 × 2 - 1) × π
    0.47967529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50694437645609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25320270} λ = -0.25320270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50694437645609))-π/2
    2×atan(4.51291992028393)-π/2
    2×1.35273371816663-π/2
    2.70546743633327-1.57079632675     		φ = 1.13467111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25320270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.507446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13467111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.011866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30127 KachelY 17050 -0.25320270 1.13467111 -14.507446 65.011866
    Oben rechts KachelX + 1 30128 KachelY 17050 -0.25310683 1.13467111 -14.501953 65.011866
    Unten links KachelX 30127 KachelY + 1 17051 -0.25320270 1.13463061 -14.507446 65.009545
    Unten rechts KachelX + 1 30128 KachelY + 1 17051 -0.25310683 1.13463061 -14.501953 65.009545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13467111-1.13463061) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dl = 258.025499999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13467111-1.13463061) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dr = 258.025499999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25320270--0.25310683) × cos(1.13467111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422430559777172 × 6371000     		do = 258.015419586145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25320270--0.25310683) × cos(1.13463061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422467268439971 × 6371000     		du = 258.037840788435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13467111)-sin(1.13463061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422430559777172-0.422467268439971)×R²
    abs(-0.25310683--0.25320270)×3.67086627987012e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67086627987012e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67086627987012e-05×40589641000000     		ar = 66577.4502763953m²