Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30126 / 39265
S 33.582591°
W 14.512940°
← 508.89 m → S 33.582591°
W 14.507446°

508.85 m

508.85 m
S 33.587168°
W 14.512940°
← 508.87 m →
258 945 m²
S 33.587168°
W 14.507446°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459693908691406 y=0.599143981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459693908691406 × 216)
    floor (0.459693908691406 × 65536)
    floor (30126.5)
    tx = 30126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599143981933594 × 216)
    floor (0.599143981933594 × 65536)
    floor (39265.5)
    ty = 39265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30126 / 39265 ti = "16/30126/39265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30126/39265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30126 ÷ 216
    30126 ÷ 65536
    x = 0.459686279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39265 ÷ 216
    39265 ÷ 65536
    y = 0.599136352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.459686279296875 × 2 - 1) × π
    -0.08062744140625 × 3.1415926535
    Λ = -0.25329858
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.599136352539062 × 2 - 1) × π
    -0.198272705078125 × 3.1415926535
    Φ = -0.62289207366301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25329858} λ = -0.25329858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62289207366301))-π/2
    2×atan(0.536390910195203)-π/2
    2×0.492334769823918-π/2
    0.984669539647835-1.57079632675
    φ = -0.58612679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25329858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.512940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58612679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.582591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30126 KachelY 39265 -0.25329858 -0.58612679 -14.512940 -33.582591
    Oben rechts KachelX + 1 30127 KachelY 39265 -0.25320270 -0.58612679 -14.507446 -33.582591
    Unten links KachelX 30126 KachelY + 1 39266 -0.25329858 -0.58620666 -14.512940 -33.587168
    Unten rechts KachelX + 1 30127 KachelY + 1 39266 -0.25320270 -0.58620666 -14.507446 -33.587168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.58612679--0.58620666) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000
    dl = 508.851769999885m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.58612679--0.58620666) × R
    7.98699999999819e-05 × 6371000
    dr = 508.851769999885m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25329858--0.25320270) × cos(-0.58612679) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.833089344013091 × 6371000
    do = 508.893858762587m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25329858--0.25320270) × cos(-0.58620666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.833045162187906 × 6371000
    du = 508.866870229283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.58612679)-sin(-0.58620666))×
    abs(λ12)×abs(0.833089344013091-0.833045162187906)×
    abs(-0.25320270--0.25329858)×4.41818251850634e-05×
    9.58799999999926e-05×4.41818251850634e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41818251850634e-05×40589641000000
    ar = 258944.674329525m²