Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30125 / 30005
↖ ↑ ↗
← S 81.603724°
E150.963135°		 ← 178.38 m → S 81.603724°
E150.974121°		 →
↑
178.39 m
↓
↑
178.39 m
↓
S 81.605328°
E150.963135°		 ← 178.35 m →
31 818 m²		 S 81.605328°
E150.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919357299804688 y=0.915695190429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919357299804688 × 215)
    floor (0.919357299804688 × 32768)
    floor (30125.5)     		tx = 30125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915695190429688 × 215)
    floor (0.915695190429688 × 32768)
    floor (30005.5)     		ty = 30005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30125 / 30005 ti = "15/30125/30005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30125/30005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30125 ÷ 215
    30125 ÷ 32768     		x = 0.919342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30005 ÷ 215
    30005 ÷ 32768     		y = 0.915679931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919342041015625 × 2 - 1) × π
    0.83868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63480375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915679931640625 × 2 - 1) × π
    -0.83135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.61179403889914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63480375} λ = 2.63480375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61179403889914))-π/2
    2×atan(0.0734027381986227)-π/2
    2×0.0732713323561423-π/2
    0.146542664712285-1.57079632675     		φ = -1.42425366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63480375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42425366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.603724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30125 KachelY 30005 2.63480375 -1.42425366 150.963135 -81.603724
    Oben rechts KachelX + 1 30126 KachelY 30005 2.63499550 -1.42425366 150.974121 -81.603724
    Unten links KachelX 30125 KachelY + 1 30006 2.63480375 -1.42428166 150.963135 -81.605328
    Unten rechts KachelX + 1 30126 KachelY + 1 30006 2.63499550 -1.42428166 150.974121 -81.605328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42425366--1.42428166) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dl = 178.387999999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42425366--1.42428166) × R
    2.7999999999917e-05 × 6371000     		dr = 178.387999999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63480375-2.63499550) × cos(-1.42425366) × R
    0.000191749999999935 × 0.146018735076399 × 6371000     		do = 178.38221800462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63480375-2.63499550) × cos(-1.42428166) × R
    0.000191749999999935 × 0.145991035128067 × 6371000     		du = 178.348378660515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42425366)-sin(-1.42428166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146018735076399-0.145991035128067)×R²
    abs(2.63499550-2.63480375)×2.76999483318496e-05×R²
    0.000191749999999935×2.76999483318496e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.76999483318496e-05×40589641000000     		ar = 31818.2288407832m²