Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30125 / 30003
↖ ↑ ↗
← S 81.600515°
E150.963135°		 ← 178.45 m → S 81.600515°
E150.974121°		 →
↑
178.45 m
↓
↑
178.45 m
↓
S 81.602119°
E150.963135°		 ← 178.42 m →
31 842 m²		 S 81.602119°
E150.974121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.919357299804688 y=0.915634155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.919357299804688 × 215)
    floor (0.919357299804688 × 32768)
    floor (30125.5)     		tx = 30125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915634155273438 × 215)
    floor (0.915634155273438 × 32768)
    floor (30003.5)     		ty = 30003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30125 / 30003 ti = "15/30125/30003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30125/30003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30125 ÷ 215
    30125 ÷ 32768     		x = 0.919342041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30003 ÷ 215
    30003 ÷ 32768     		y = 0.915618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.919342041015625 × 2 - 1) × π
    0.83868408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.63480375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.83123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61141054370218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.63480375} λ = 2.63480375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61141054370218))-π/2
    2×atan(0.0734308931944734)-π/2
    2×0.0732993364093373-π/2
    0.146598672818675-1.57079632675     		φ = -1.42419765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.63480375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 150.963135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42419765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.600515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30125 KachelY 30003 2.63480375 -1.42419765 150.963135 -81.600515
    Oben rechts KachelX + 1 30126 KachelY 30003 2.63499550 -1.42419765 150.974121 -81.600515
    Unten links KachelX 30125 KachelY + 1 30004 2.63480375 -1.42422566 150.963135 -81.602119
    Unten rechts KachelX + 1 30126 KachelY + 1 30004 2.63499550 -1.42422566 150.974121 -81.602119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42419765--1.42422566) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dl = 178.451710000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42419765--1.42422566) × R
    2.80100000000783e-05 × 6371000     		dr = 178.451710000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.63480375-2.63499550) × cos(-1.42419765) × R
    0.000191749999999935 × 0.146074144522342 × 6371000     		do = 178.449908358604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.63480375-2.63499550) × cos(-1.42422566) × R
    0.000191749999999935 × 0.146046434910252 × 6371000     		du = 178.416057208874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42419765)-sin(-1.42422566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146074144522342-0.146046434910252)×R²
    abs(2.63499550-2.63480375)×2.77096120893661e-05×R²
    0.000191749999999935×2.77096120893661e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.77096120893661e-05×40589641000000     		ar = 31841.670900437m²