Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30125 / 19854
↖ ↑ ↗
← N 57.663035°
W 14.518433°		 ← 326.71 m → N 57.663035°
W 14.512940°		 →
↑
326.70 m
↓
↑
326.70 m
↓
N 57.660096°
W 14.518433°		 ← 326.74 m →
106 742 m²		 N 57.660096°
W 14.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459678649902344 y=0.302955627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459678649902344 × 216)
    floor (0.459678649902344 × 65536)
    floor (30125.5)     		tx = 30125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302955627441406 × 216)
    floor (0.302955627441406 × 65536)
    floor (19854.5)     		ty = 19854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30125 / 19854 ti = "16/30125/19854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30125/19854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30125 ÷ 216
    30125 ÷ 65536     		x = 0.459671020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19854 ÷ 216
    19854 ÷ 65536     		y = 0.302947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459671020507812 × 2 - 1) × π
    -0.080657958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.25339445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302947998046875 × 2 - 1) × π
    0.39410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23811424338681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25339445} λ = -0.25339445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23811424338681))-π/2
    2×atan(3.44910315917404)-π/2
    2×1.28860306890568-π/2
    2.57720613781137-1.57079632675     		φ = 1.00640981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25339445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.518433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00640981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.663035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30125 KachelY 19854 -0.25339445 1.00640981 -14.518433 57.663035
    Oben rechts KachelX + 1 30126 KachelY 19854 -0.25329858 1.00640981 -14.512940 57.663035
    Unten links KachelX 30125 KachelY + 1 19855 -0.25339445 1.00635853 -14.518433 57.660096
    Unten rechts KachelX + 1 30126 KachelY + 1 19855 -0.25329858 1.00635853 -14.512940 57.660096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00640981-1.00635853) × R
    5.12800000000979e-05 × 6371000     		dl = 326.704880000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00640981-1.00635853) × R
    5.12800000000979e-05 × 6371000     		dr = 326.704880000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25339445--0.25329858) × cos(1.00640981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534897574367118 × 6371000     		do = 326.708896626094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25339445--0.25329858) × cos(1.00635853) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534940901002955 × 6371000     		du = 326.735360005378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00640981)-sin(1.00635853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534897574367118-0.534940901002955)×R²
    abs(-0.25329858--0.25339445)×4.33266358362827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33266358362827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33266358362827e-05×40589641000000     		ar = 106741.713748622m²