Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30124 / 42732
↖ ↑ ↗
← S 47.916342°
W 14.523926°		 ← 409.40 m → S 47.916342°
W 14.518433°		 →
↑
409.40 m
↓
↑
409.40 m
↓
S 47.920024°
W 14.523926°		 ← 409.37 m →
167 603 m²		 S 47.920024°
W 14.518433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459663391113281 y=0.652046203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459663391113281 × 216)
    floor (0.459663391113281 × 65536)
    floor (30124.5)     		tx = 30124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652046203613281 × 216)
    floor (0.652046203613281 × 65536)
    floor (42732.5)     		ty = 42732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30124 / 42732 ti = "16/30124/42732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30124/42732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30124 ÷ 216
    30124 ÷ 65536     		x = 0.45965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42732 ÷ 216
    42732 ÷ 65536     		y = 0.65203857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25349033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65203857421875 × 2 - 1) × π
    -0.3040771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.955286535628479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25349033} λ = -0.25349033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.955286535628479))-π/2
    2×atan(0.384701897958836)-π/2
    2×0.367249196350303-π/2
    0.734498392700607-1.57079632675     		φ = -0.83629793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25349033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83629793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.916342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30124 KachelY 42732 -0.25349033 -0.83629793 -14.523926 -47.916342
    Oben rechts KachelX + 1 30125 KachelY 42732 -0.25339445 -0.83629793 -14.518433 -47.916342
    Unten links KachelX 30124 KachelY + 1 42733 -0.25349033 -0.83636219 -14.523926 -47.920024
    Unten rechts KachelX + 1 30125 KachelY + 1 42733 -0.25339445 -0.83636219 -14.518433 -47.920024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83629793--0.83636219) × R
    6.42600000000382e-05 × 6371000     		dl = 409.400460000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83629793--0.83636219) × R
    6.42600000000382e-05 × 6371000     		dr = 409.400460000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25349033--0.25339445) × cos(-0.83629793) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670214966608158 × 6371000     		do = 409.401804270713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25349033--0.25339445) × cos(-0.83636219) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670167273571149 × 6371000     		du = 409.37267090847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83629793)-sin(-0.83636219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670214966608158-0.670167273571149)×R²
    abs(-0.25339445--0.25349033)×4.76930370086892e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76930370086892e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76930370086892e-05×40589641000000     		ar = 167603.323445257m²