Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30124 / 15330
↖ ↑ ↗
← N 68.716453°
W 14.523926°		 ← 221.73 m → N 68.716453°
W 14.518433°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 68.714459°
W 14.523926°		 ← 221.75 m →
49 176 m²		 N 68.714459°
W 14.518433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459663391113281 y=0.233924865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459663391113281 × 216)
    floor (0.459663391113281 × 65536)
    floor (30124.5)     		tx = 30124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233924865722656 × 216)
    floor (0.233924865722656 × 65536)
    floor (15330.5)     		ty = 15330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30124 / 15330 ti = "16/30124/15330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30124/15330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30124 ÷ 216
    30124 ÷ 65536     		x = 0.45965576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15330 ÷ 216
    15330 ÷ 65536     		y = 0.233917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45965576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25349033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233917236328125 × 2 - 1) × π
    0.53216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.67184731114908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25349033} λ = -0.25349033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67184731114908))-π/2
    2×atan(5.32199009360426)-π/2
    2×1.38506234155684-π/2
    2.77012468311369-1.57079632675     		φ = 1.19932836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25349033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.523926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19932836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.716453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30124 KachelY 15330 -0.25349033 1.19932836 -14.523926 68.716453
    Oben rechts KachelX + 1 30125 KachelY 15330 -0.25339445 1.19932836 -14.518433 68.716453
    Unten links KachelX 30124 KachelY + 1 15331 -0.25349033 1.19929355 -14.523926 68.714459
    Unten rechts KachelX + 1 30125 KachelY + 1 15331 -0.25339445 1.19929355 -14.518433 68.714459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19932836-1.19929355) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19932836-1.19929355) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25349033--0.25339445) × cos(1.19932836) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.362983667431467 × 6371000     		do = 221.729110466323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25349033--0.25339445) × cos(1.19929355) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		du = 221.748923789281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19932836)-sin(1.19929355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362983667431467-0.363016103012958)×R²
    abs(-0.25339445--0.25349033)×3.24355814910193e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.24355814910193e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.24355814910193e-05×40589641000000     		ar = 49176.0618764171m²