Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30123 / 20044
↖ ↑ ↗
← N 57.100452°
W 14.529419°		 ← 331.76 m → N 57.100452°
W 14.523926°		 →
↑
331.74 m
↓
↑
331.74 m
↓
N 57.097469°
W 14.529419°		 ← 331.79 m →
110 062 m²		 N 57.097469°
W 14.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459648132324219 y=0.305854797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459648132324219 × 216)
    floor (0.459648132324219 × 65536)
    floor (30123.5)     		tx = 30123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305854797363281 × 216)
    floor (0.305854797363281 × 65536)
    floor (20044.5)     		ty = 20044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30123 / 20044 ti = "16/30123/20044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30123/20044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30123 ÷ 216
    30123 ÷ 65536     		x = 0.459640502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20044 ÷ 216
    20044 ÷ 65536     		y = 0.30584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459640502929688 × 2 - 1) × π
    -0.080718994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.25358620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30584716796875 × 2 - 1) × π
    0.3883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21989822153119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25358620} λ = -0.25358620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21989822153119))-π/2
    2×atan(3.38684300838333)-π/2
    2×1.28369361005638-π/2
    2.56738722011275-1.57079632675     		φ = 0.99659089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25358620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.529419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99659089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.100452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30123 KachelY 20044 -0.25358620 0.99659089 -14.529419 57.100452
    Oben rechts KachelX + 1 30124 KachelY 20044 -0.25349033 0.99659089 -14.523926 57.100452
    Unten links KachelX 30123 KachelY + 1 20045 -0.25358620 0.99653882 -14.529419 57.097469
    Unten rechts KachelX + 1 30124 KachelY + 1 20045 -0.25349033 0.99653882 -14.523926 57.097469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99659089-0.99653882) × R
    5.20699999999596e-05 × 6371000     		dl = 331.737969999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99659089-0.99653882) × R
    5.20699999999596e-05 × 6371000     		dr = 331.737969999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25358620--0.25349033) × cos(0.99659089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543167827758507 × 6371000     		do = 331.760266252355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25358620--0.25349033) × cos(0.99653882) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.543211546251563 × 6371000     		du = 331.786968973237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99659089)-sin(0.99653882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.543167827758507-0.543211546251563)×R²
    abs(-0.25349033--0.25358620)×4.37184930557333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.37184930557333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.37184930557333e-05×40589641000000     		ar = 110061.906431152m²