Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30122 / 15332
↖ ↑ ↗
← N 68.712465°
W 14.534912°		 ← 221.75 m → N 68.712465°
W 14.529419°		 →
↑
221.77 m
↓
↑
221.77 m
↓
N 68.710470°
W 14.534912°		 ← 221.77 m →
49 180 m²		 N 68.710470°
W 14.529419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459632873535156 y=0.233955383300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459632873535156 × 216)
    floor (0.459632873535156 × 65536)
    floor (30122.5)     		tx = 30122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233955383300781 × 216)
    floor (0.233955383300781 × 65536)
    floor (15332.5)     		ty = 15332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30122 / 15332 ti = "16/30122/15332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30122/15332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30122 ÷ 216
    30122 ÷ 65536     		x = 0.459625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15332 ÷ 216
    15332 ÷ 65536     		y = 0.23394775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459625244140625 × 2 - 1) × π
    -0.08074951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25368207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23394775390625 × 2 - 1) × π
    0.5321044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.6716555635506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25368207} λ = -0.25368207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6716555635506))-π/2
    2×atan(5.3209697126156)-π/2
    2×1.38502753782419-π/2
    2.77005507564839-1.57079632675     		φ = 1.19925875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25368207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.534912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19925875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.712465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30122 KachelY 15332 -0.25368207 1.19925875 -14.534912 68.712465
    Oben rechts KachelX + 1 30123 KachelY 15332 -0.25358620 1.19925875 -14.529419 68.712465
    Unten links KachelX 30122 KachelY + 1 15333 -0.25368207 1.19922394 -14.534912 68.710470
    Unten rechts KachelX + 1 30123 KachelY + 1 15333 -0.25358620 1.19922394 -14.529419 68.710470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19925875-1.19922394) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dl = 221.77451000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19925875-1.19922394) × R
    3.48100000000517e-05 × 6371000     		dr = 221.77451000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25368207--0.25358620) × cos(1.19925875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363048528836867 × 6371000     		do = 221.745601330046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25368207--0.25358620) × cos(1.19922394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.363080963538686 × 6371000     		du = 221.76541204924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19925875)-sin(1.19922394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363048528836867-0.363080963538686)×R²
    abs(-0.25358620--0.25368207)×3.24347018186288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24347018186288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24347018186288e-05×40589641000000     		ar = 49179.7188407186m²