Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30121 / 41013
↖ ↑ ↗
← S 41.199323°
W 14.540405°		 ← 459.62 m → S 41.199323°
W 14.534912°		 →
↑
459.54 m
↓
↑
459.54 m
↓
S 41.203456°
W 14.540405°		 ← 459.59 m →
211 207 m²		 S 41.203456°
W 14.534912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459617614746094 y=0.625816345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459617614746094 × 216)
    floor (0.459617614746094 × 65536)
    floor (30121.5)     		tx = 30121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.625816345214844 × 216)
    floor (0.625816345214844 × 65536)
    floor (41013.5)     		ty = 41013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30121 / 41013 ti = "16/30121/41013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30121/41013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30121 ÷ 216
    30121 ÷ 65536     		x = 0.459609985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41013 ÷ 216
    41013 ÷ 65536     		y = 0.625808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.080780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25377795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.625808715820312 × 2 - 1) × π
    -0.251617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.790479474734726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25377795} λ = -0.25377795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790479474734726))-π/2
    2×atan(0.453627240329751)-π/2
    2×0.425866244201768-π/2
    0.851732488403536-1.57079632675     		φ = -0.71906384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25377795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71906384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.199323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30121 KachelY 41013 -0.25377795 -0.71906384 -14.540405 -41.199323
    Oben rechts KachelX + 1 30122 KachelY 41013 -0.25368207 -0.71906384 -14.534912 -41.199323
    Unten links KachelX 30121 KachelY + 1 41014 -0.25377795 -0.71913597 -14.540405 -41.203456
    Unten rechts KachelX + 1 30122 KachelY + 1 41014 -0.25368207 -0.71913597 -14.534912 -41.203456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71906384--0.71913597) × R
    7.21299999999481e-05 × 6371000     		dl = 459.540229999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71906384--0.71913597) × R
    7.21299999999481e-05 × 6371000     		dr = 459.540229999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25377795--0.25368207) × cos(-0.71906384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.752422689165671 × 6371000     		do = 459.618513262395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25377795--0.25368207) × cos(-0.71913597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.752375176578676 × 6371000     		du = 459.58949012831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71906384)-sin(-0.71913597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752422689165671-0.752375176578676)×R²
    abs(-0.25368207--0.25377795)×4.751258699498e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.751258699498e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.751258699498e-05×40589641000000     		ar = 211206.528739504m²