Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30121 / 15331
↖ ↑ ↗
← N 68.714459°
W 14.540405°		 ← 221.75 m → N 68.714459°
W 14.534912°		 →
↑
221.71 m
↓
↑
221.71 m
↓
N 68.712465°
W 14.540405°		 ← 221.77 m →
49 166 m²		 N 68.712465°
W 14.534912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459617614746094 y=0.233940124511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459617614746094 × 216)
    floor (0.459617614746094 × 65536)
    floor (30121.5)     		tx = 30121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233940124511719 × 216)
    floor (0.233940124511719 × 65536)
    floor (15331.5)     		ty = 15331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30121 / 15331 ti = "16/30121/15331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30121/15331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30121 ÷ 216
    30121 ÷ 65536     		x = 0.459609985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15331 ÷ 216
    15331 ÷ 65536     		y = 0.233932495117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.459609985351562 × 2 - 1) × π
    -0.080780029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25377795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.233932495117188 × 2 - 1) × π
    0.532135009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.67175143734984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25377795} λ = -0.25377795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67175143734984))-π/2
    2×atan(5.32147987865298)-π/2
    2×1.3850449404678-π/2
    2.77008988093561-1.57079632675     		φ = 1.19929355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25377795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.540405°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19929355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.714459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30121 KachelY 15331 -0.25377795 1.19929355 -14.540405 68.714459
    Oben rechts KachelX + 1 30122 KachelY 15331 -0.25368207 1.19929355 -14.534912 68.714459
    Unten links KachelX 30121 KachelY + 1 15332 -0.25377795 1.19925875 -14.540405 68.712465
    Unten rechts KachelX + 1 30122 KachelY + 1 15332 -0.25368207 1.19925875 -14.534912 68.712465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19929355-1.19925875) × R
    3.47999999998905e-05 × 6371000     		dl = 221.710799999302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19929355-1.19925875) × R
    3.47999999998905e-05 × 6371000     		dr = 221.710799999302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25377795--0.25368207) × cos(1.19929355) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363016103012958 × 6371000     		do = 221.748923789281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25377795--0.25368207) × cos(1.19925875) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.363048528836867 × 6371000     		du = 221.768731151806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19929355)-sin(1.19925875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.363016103012958-0.363048528836867)×R²
    abs(-0.25368207--0.25377795)×3.24258239088326e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.24258239088326e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.24258239088326e-05×40589641000000     		ar = 49166.3270505194m²