Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30120 / 27928
↖ ↑ ↗
← N 25.681137°
W 14.545898°		 ← 550.45 m → N 25.681137°
W 14.540405°		 →
↑
550.45 m
↓
↑
550.45 m
↓
N 25.676187°
W 14.545898°		 ← 550.48 m →
303 006 m²		 N 25.676187°
W 14.540405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459602355957031 y=0.426155090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459602355957031 × 216)
    floor (0.459602355957031 × 65536)
    floor (30120.5)     		tx = 30120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426155090332031 × 216)
    floor (0.426155090332031 × 65536)
    floor (27928.5)     		ty = 27928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30120 / 27928 ti = "16/30120/27928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30120/27928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30120 ÷ 216
    30120 ÷ 65536     		x = 0.4595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27928 ÷ 216
    27928 ÷ 65536     		y = 0.4261474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    0.147705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.464029188322144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25387382} λ = -0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.464029188322144))-π/2
    2×atan(1.59046939289554)-π/2
    2×1.00950836447375-π/2
    2.0190167289475-1.57079632675     		φ = 0.44822040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44822040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.681137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30120 KachelY 27928 -0.25387382 0.44822040 -14.545898 25.681137
    Oben rechts KachelX + 1 30121 KachelY 27928 -0.25377795 0.44822040 -14.540405 25.681137
    Unten links KachelX 30120 KachelY + 1 27929 -0.25387382 0.44813400 -14.545898 25.676187
    Unten rechts KachelX + 1 30121 KachelY + 1 27929 -0.25377795 0.44813400 -14.540405 25.676187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44822040-0.44813400) × R
    8.6400000000042e-05 × 6371000     		dl = 550.454400000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44822040-0.44813400) × R
    8.6400000000042e-05 × 6371000     		dr = 550.454400000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(0.44822040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.90121974076173 × 6371000     		do = 550.453995739823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(0.44813400) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.901257179910169 × 6371000     		du = 550.476863113809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44822040)-sin(0.44813400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90121974076173-0.901257179910169)×R²
    abs(-0.25377795--0.25387382)×3.74391484386782e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.74391484386782e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.74391484386782e-05×40589641000000     		ar = 303006.117864435m²