Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30120 / 20232
↖ ↑ ↗
← N 56.535258°
W 14.545898°		 ← 336.80 m → N 56.535258°
W 14.540405°		 →
↑
336.83 m
↓
↑
336.83 m
↓
N 56.532228°
W 14.545898°		 ← 336.83 m →
113 451 m²		 N 56.532228°
W 14.540405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459602355957031 y=0.308723449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459602355957031 × 216)
    floor (0.459602355957031 × 65536)
    floor (30120.5)     		tx = 30120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308723449707031 × 216)
    floor (0.308723449707031 × 65536)
    floor (20232.5)     		ty = 20232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30120 / 20232 ti = "16/30120/20232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30120/20232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30120 ÷ 216
    30120 ÷ 65536     		x = 0.4595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20232 ÷ 216
    20232 ÷ 65536     		y = 0.3087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3087158203125 × 2 - 1) × π
    0.382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20187394727405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25387382} λ = -0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20187394727405))-π/2
    2×atan(3.326344480028)-π/2
    2×1.27876135896105-π/2
    2.55752271792209-1.57079632675     		φ = 0.98672639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98672639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.535258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30120 KachelY 20232 -0.25387382 0.98672639 -14.545898 56.535258
    Oben rechts KachelX + 1 30121 KachelY 20232 -0.25377795 0.98672639 -14.540405 56.535258
    Unten links KachelX 30120 KachelY + 1 20233 -0.25387382 0.98667352 -14.545898 56.532228
    Unten rechts KachelX + 1 30121 KachelY + 1 20233 -0.25377795 0.98667352 -14.540405 56.532228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98672639-0.98667352) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dl = 336.834769999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98672639-0.98667352) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dr = 336.834769999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(0.98672639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551423738676219 × 6371000     		do = 336.802875671103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(0.98667352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		du = 336.829814295414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98672639)-sin(0.98667352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551423738676219-0.551467843397422)×R²
    abs(-0.25377795--0.25387382)×4.41047212039747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41047212039747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41047212039747e-05×40589641000000     		ar = 113451.456121173m²