Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30120 / 15320
↖ ↑ ↗
← N 68.736384°
W 14.545898°		 ← 221.51 m → N 68.736384°
W 14.540405°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
N 68.734391°
W 14.545898°		 ← 221.53 m →
49 071 m²		 N 68.734391°
W 14.540405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.459602355957031 y=0.233772277832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.459602355957031 × 216)
    floor (0.459602355957031 × 65536)
    floor (30120.5)     		tx = 30120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.233772277832031 × 216)
    floor (0.233772277832031 × 65536)
    floor (15320.5)     		ty = 15320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30120 / 15320 ti = "16/30120/15320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30120/15320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30120 ÷ 216
    30120 ÷ 65536     		x = 0.4595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15320 ÷ 216
    15320 ÷ 65536     		y = 0.2337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.25387382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2337646484375 × 2 - 1) × π
    0.532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.67280604914148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25387382} λ = -0.25387382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.67280604914148))-π/2
    2×atan(5.32709493441357)-π/2
    2×1.38523626697177-π/2
    2.77047253394353-1.57079632675     		φ = 1.19967621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25387382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19967621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.736384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30120 KachelY 15320 -0.25387382 1.19967621 -14.545898 68.736384
    Oben rechts KachelX + 1 30121 KachelY 15320 -0.25377795 1.19967621 -14.540405 68.736384
    Unten links KachelX 30120 KachelY + 1 15321 -0.25387382 1.19964144 -14.545898 68.734391
    Unten rechts KachelX + 1 30121 KachelY + 1 15321 -0.25377795 1.19964144 -14.540405 68.734391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19967621-1.19964144) × R
    3.47700000000728e-05 × 6371000     		dl = 221.519670000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19967621-1.19964144) × R
    3.47700000000728e-05 × 6371000     		dr = 221.519670000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(1.19967621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362659520412259 × 6371000     		do = 221.507999741868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25387382--0.25377795) × cos(1.19964144) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.362691923110865 × 6371000     		du = 221.527790913892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19967621)-sin(1.19964144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.362659520412259-0.362691923110865)×R²
    abs(-0.25377795--0.25387382)×3.24026986065484e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.24026986065484e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.24026986065484e-05×40589641000000     		ar = 49070.5710769466m²